基本不等式19篇

基本不等式19篇

基本不等式(1)

基本不等式

赣榆县城头高级中学 刘家兴

教学三维目标：

1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.

2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.

3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.

教学重点、难点：

重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.

难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值.

学情分析与学法指导

基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.

一、基础梳理

1、 基本不等式：如果a,b是正数，那么 （当且仅当 时取号 ）

代数背景：

如果 （当且仅当 时取号 ）（用代换思想得到基本不等式）

几何背景：半径不小于半弦。

2、 常见变形：

（1） （2）

（3） 2（）

3、算术平均数与几何平均数

如果，是正数，我们称 为，的算术平均数，称 的，几何平均数.

4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）

问题：

（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：

已知,则

（1）“积定和最小”：如果积xy是定值P,那么当 时，和x+y有最小值 ；

（2）“和定积最大”：如果和x+y是定值S,那么当 时，积xy有最大值 .

二、课前热身

1、已知，下列各式最大的是（ ）

A. B. C. D.

2、已知是实数，求证

3、

4、大家来挑错 （1）

（2）

5、

三、课堂探究

1、答疑解惑

方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。

2、典例分析

例1、设求函数的最大值.

例2、

变式1：将条件改为

变式2：去掉条件

变式3：将条件改为

例3、若正数 .

变式：求的取值范围.

例4、已知求的最小值.

变式：已知若恒成立，求实数的取值范围.

3、反馈矫正

（1）设，求函数的最大值.

（2）设，且，则的最小值是 .

（3）求的取值范围.①②

（4）已知，的最小值是18，求.

（5）（自选）已知则的最小值是 .

说明：反馈矫正可以根据学生课前预习与课堂学习的实际情况调整为课后巩固练习.

4、回顾与反思

方法：在教师的引导下由学生总结运用基本不等式解题的方法、技巧并相互补充.

题型回顾： .

.

运用基本不等式应注意的问题：

①必须是 数；

②积是 值，和才有最 值，和是 值，积才有最 值；

③当且仅当 时，等号成立.

即：“ 、 、 ”.

利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下应 求解最值.

易错反思： .

本节课你还有哪些疑问？

基本不等式(2)

教学情境一：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

我们考虑4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。

由图可知，即．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

新知：

教学情境二：

先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，

再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．

假设两个正方形的面积分别为和（）

问题2：考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

新知：

问题3：你能用代数的方法给出它们的证明吗？

证明：因为，即（当时取等号）

（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）

证明：（分析法）：由于，于是要证明 ，

只要证明 ，

即证 ，即 ，

所以，（当时取等号）

【板书】两个重要不等式

若，则（当且仅当时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

教学情境三：学以致用，我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢？

问题4：（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

【板书】利用基本不等式求最值时，一定要注意三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可。

例1：函数，在下列哪个区间内有最小值，若有请求出；若没有，说明理由？

（1） （2） （3）

例2：已知，，

（1）求的最大值；（2）求的最小值；

※分享收获:

对于，

（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；

（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．

习题设计

1.求下列函数的最值（利用基本不等式求最值）

（1）的最小值（难度★）

（2）若，求的最小值（难度★★）

2.已知直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？

（利用基本不等式求最值；难度★★★）

3.下列函数的最小值为的是：（一正二定三相等；难度★★★★）

A． B．

C． D．

4.求下列代数式的最小值（一正二定三相等）

（1）已知，且，求的最小值．（难度★★★★）

（2）设，且，求的最小值．（难度★★★★）

5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

（利用基本不等式求最值；难度★★★★★）

基本不等式(3)

基本不等式专题复习

[基础知识]

1.(1)若,则 0， 0 (2)

(3) (4)若a>b>0,m>0则

(5)若a,b同号且a>b则 (6),则 变形

2．均值不等式:

两个正数的均值不等式： 变形 ，

3．最值定理:设

（1）如果x,y是正数,且积,则xy时,

（2）如果x,y是正数和,则x=y时,

运用最值定理求最值的三要素：一 ，二 ，三 。

4．的草图：

[典型例析]

例1. 已知，且，则的最大值为 .

变式 （1）已知，且，求的最大值 .

（2）已知，则的最小值是 .

例2

（1）已知，求函数的最大值.

（2）求函数的最小值

（3）求的最大值.

（4） 已知：，且，则的最小值是 .

（5）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值

（6）求函数y=的最小值.

例3若,则的最小值为 ．

变式 （1）已知x、y为正实数，且，求x+y的最小值。

（2）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．

（3）已知正数a,b,x,y满足a+b=10, =1，x+y的最小值为18，求a,b的值.

例4 （1）已知A(0,9) B(0,16)是y轴正半轴上的两点，C(x,0)是x轴上任意一点，求当点C在何位置时，最大？

(2)已知下列四个结论

①当；②；

③的最小值为2；④当无最大值,则其中正确的个数为

(3)已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为

基本不等式(4)

基本不等式

教学目标：

1．基本不等式9fbcb68315368437b97cce059ddf4939.png≤37031ce00bf6d8ce63bb0e62274fd55d.png

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为37031ce00bf6d8ce63bb0e62274fd55d.png，几何平均数为9fbcb68315368437b97cce059ddf4939.png，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2590617e061f9a5571f2555a4e6730b55.png．

(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是c4672c08bd353267471cddbe3c24eb45.png．

(简记：和定积最大)

[做一做]

1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．

解析：由基本不等式得a＋b≥29fbcb68315368437b97cce059ddf4939.png＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤f04ea167071b331452cc31bae8fe5233.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，当且仅当a＝b＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png时取到等号．

答案：2　70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

2．活用几个重要的不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；33579a5a81e0c6e06755bb3ad02f8c80.png＋93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png≥2(a，b同号)．

ab≤f04ea167071b331452cc31bae8fe5233.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png(a，b∈R)；f04ea167071b331452cc31bae8fe5233.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png≤024ee5e44c36692b5ffcfe0774832d7d.png(a，b∈R)．

3．巧用“拆”“拼”“凑”

在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

[做一做]

2．“a>0且b>0”是“37031ce00bf6d8ce63bb0e62274fd55d.png≥9fbcb68315368437b97cce059ddf4939.png”成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

3．若x>1，则x＋237c1749fef7238ed9f3c05e453a8750.png的最小值为________．

解析：x＋237c1749fef7238ed9f3c05e453a8750.png＝x－1＋237c1749fef7238ed9f3c05e453a8750.png＋1≥4＋1＝5.

当且仅当x－1＝237c1749fef7238ed9f3c05e453a8750.png，即x＝3时等号成立．

答案：5

b410125b9258cdb761da0c6cf846e283.png__利用基本不等式证明不等式__________

word/media/image2.gif　已知a>0，b>0，a＋b＝1，

求证：68b4f3ad55ed46458f1a5182d3e43ba2.png33c5ed3f50a9a0094f205cde7606f79b.png≥9.

[证明]　法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴1＋65a34d93d618b92bfc42fa50262bbb01.png＝1＋484047fc38f719467336f20c2d73c4b5.png＝2＋46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png.同理，1＋c743f422d4056a8f4fe68cf08d96a89e.png＝2＋93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png.

∴68b4f3ad55ed46458f1a5182d3e43ba2.png33c5ed3f50a9a0094f205cde7606f79b.png＝6d2c5b0d308cb125c43792dee13f28ef.png473f6ec50b465253889bf172c8915f56.png

＝5＋21db4a8128fce969165433625ca7fb325.png≥5＋4＝9，当且仅当46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png，即a＝b时取“＝”．

∴68b4f3ad55ed46458f1a5182d3e43ba2.png33c5ed3f50a9a0094f205cde7606f79b.png≥9，当且仅当a＝b＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png时等号成立．

法二：68b4f3ad55ed46458f1a5182d3e43ba2.png33c5ed3f50a9a0094f205cde7606f79b.png＝1＋65a34d93d618b92bfc42fa50262bbb01.png＋c743f422d4056a8f4fe68cf08d96a89e.png＋d4e7f7e18bb11daca8b7108797b013d3.png

＝1＋95da143e0866fdf56993d3040f4c7479.png＋d4e7f7e18bb11daca8b7108797b013d3.png＝1＋d4802a0eebccda1616b6c61893755c5e.png，

∵a，b为正数，a＋b＝1，

∴ab≤f04ea167071b331452cc31bae8fe5233.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，当且仅当a＝b＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png时取“＝”．

于是d4e7f7e18bb11daca8b7108797b013d3.png≥4，d4802a0eebccda1616b6c61893755c5e.png≥8，当且仅当a＝b＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png时取“＝”．

∴68b4f3ad55ed46458f1a5182d3e43ba2.png33c5ed3f50a9a0094f205cde7606f79b.png≥1＋8＝9，

当且仅当a＝b＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png时等号成立．

word/media/image2.gif　在本例条件下，求证65a34d93d618b92bfc42fa50262bbb01.png＋c743f422d4056a8f4fe68cf08d96a89e.png≥4.

证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴65a34d93d618b92bfc42fa50262bbb01.png＋c743f422d4056a8f4fe68cf08d96a89e.png＝484047fc38f719467336f20c2d73c4b5.png＋70b22c4119a570d01f6282506d744e4e.png＝2＋46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＋93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png≥2＋224bb3e96f4d5b0d3aa22874a9fb63c3e.png＝4，当且仅当a＝b＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png时等号成立．

∴65a34d93d618b92bfc42fa50262bbb01.png＋c743f422d4056a8f4fe68cf08d96a89e.png≥4.

[规律方法]　利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

　　　1.设a，b，c都是正数，求证：76247bfdc2ecd15d08ae8cc864398de2.png＋95b762a342f0759a29e977040052237e.png＋cf98a743c6996a098ad9e8c3ba84850a.png≥a＋b＋c.

证明：∵a，b，c都是正数，∴76247bfdc2ecd15d08ae8cc864398de2.png，68272b822f34d05515bc95ab7a5d61f4.png，cf98a743c6996a098ad9e8c3ba84850a.png都是正数．

∴76247bfdc2ecd15d08ae8cc864398de2.png＋68272b822f34d05515bc95ab7a5d61f4.png≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，68272b822f34d05515bc95ab7a5d61f4.png＋cf98a743c6996a098ad9e8c3ba84850a.png≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，cf98a743c6996a098ad9e8c3ba84850a.png＋76247bfdc2ecd15d08ae8cc864398de2.png≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．

三式相加，得293d6a6f66824f7254d6e9eeb759cc11f.png≥2(a＋b＋c)，即76247bfdc2ecd15d08ae8cc864398de2.png＋68272b822f34d05515bc95ab7a5d61f4.png＋cf98a743c6996a098ad9e8c3ba84850a.png≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

4ad46be8ca19e77b334d204ad2642bb6.png__利用基本不等式求最值(高频考点)______

利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．

高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：

(1)知和求积的最值；

(2)知积求和的最值；

(3)求参数的值或范围．

　(1)当0

基本不等式(5)

基本不等式应用

1.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）

若，则 (当且仅当时取“=”）

2.若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则 (当且仅当时取“=”）

3.若，则（当且仅当时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋

解：（1）y＝3x 2＋≥2＝∴值域为[，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；

当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧：

技巧一：凑项

例1：已知，求函数的最大值。

解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，

，

当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设，求函数的最大值。

解：∵∴∴

当且仅当即时等号成立。

技巧三： 分离

例3. 求的值域。

解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。

解：令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）（2） (3)

2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.

条件求最值

1.若实数满足，则的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

解：都是正数，≥

当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．

变式：若，求的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

2：已知，且，求的最小值。

错解： ，且， 故 。

错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：，

当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。

变式： （1）若且，求的最小值

(2)已知且，求的最小值

技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

同时还应化简中y2前面的系数为， x＝x＝x·

下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝ 即x＝·x≤

技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a＝， ab＝·b＝

　　　由a＞0得，0＜b＜15

　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8

　　　∴ ab≤18 ∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2

　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3

　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

　＋≤＝＝2

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

　　∴ W≤＝2

变式: 求函数的最大值。

解析：注意到与的和为定值。

又，所以

当且仅当=，即时取等号。 故。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

应用三：基本不等式与恒成立问题

例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

解：令，

。，

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若，则的大小关系是 .

分析：∵∴

（

∴R>Q>P。

基本不等式(6)

《基本不等式》说课稿

各位评委老师，上午好！我是来应聘高中数学的一号考生，我今天说课的题目是《基本不等式》，下面我将从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学过程，说板书设计六个方面展开我的说课，下面开始我的说课！

一、说教材。

a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png教材的地位和作用：《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值的过程中有着广泛的应用。

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png教学目标：

（1） 知识与技能：学生能写出基本不等式，会应用基本不等式解决相关问题。

（2） 过程与方法：学生通过观察图形，推导、证明等过程，培养观察、分析、归纳、总结的能力。

（3） 情感态度与价值观：学生领略数学的实际应用价值，感受数学学习的乐趣。

d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png教学重难点：

重点：理解基本不等式的本质并会解决实际问题。

难点：基本不等式几何意义的理解。

二、说学情。

为了更好地实现教学目标，我将对学生情况进行一下简要分析。对于高一年级的学生来说，他们对不等式的知识有了一定的了解，但对基本不等式的理解运用能力不足。这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难。这都将成为我组织教学的考虑因素。

三、说教法。

科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教育学的和谐完美与统一。根据本节课的特点并结合新课改的要求，在本节课中，我将采用讲授法、演示法、引导启发法等教学方法。

四、说学法。

教师的教是为了学生更好地学，结合本节内容，我将学法确定为自主探究法、分析归纳法。充分调动学生的眼、手、脑等多种感官参与学习，既培养了他们的学习兴趣，又使他们感受到了学习的乐趣。

五、说教学过程。

首先，我将利用多媒体战士2002年国际数学家大会的会标，让同学们边观察边思考：图上有哪些相等或不等关系？通过展示来激发学生的学习兴趣。接下来是新授环节。

我将会标抽象成几何图形，正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，让学生自主探究，比较三角形面积之和与正方形面积的大小，从而让学生自主推导出不等式1a9bc33797acbd1516c7882c8547857a.png，再通过引导启发，让学生自己将结论补充完整。接下来，我会提问：你们能给出它的证明吗？给两分钟的时间让学生自主探究。然后用讲授法给出基本不等式的常用形式48f5f668d7db430b72575630ccccf251.png，并给出具体的证明过程，强调等号成立的条件。基本不等式的证明是本节课的重点，先通过学生的自主探究，再通过我的讲授，学生可以更快地理解这一知识点。接下来是探究基本不等式的几何意义。先由学生自主思考两分钟的时间，然后通过我的讲授，让学生理解基本不等式的几何意义，最后通过几何画板动态演示，让学生更直观地感受基本不等式的几何意义。这样就突破了基本不等式的几何意义这一难点。接下来是巩固练习环节。

这个环节，我将利用两个例题对刚才所讲的知识进行巩固练习。

例1：证明（1）26325825dad48fcfa413a623e038e8da.png

（2）1736b7ffbfeaeb8b8ea38d4b3c3b67d7.png

例2：（1）用篱笆围一个面积为100b8c460643608d59ace5819d3971b4261.png的矩形菜园。问矩形长宽各为多少时，所用篱笆最短？

（2）一段长为36b8c460643608d59ace5819d3971b4261.png的篱笆围成一个矩形菜园，问长宽各为多少时面积最大？

第一个例题不是课本例题，它比课本例题简单，这样循序渐进，有利于学生理解不等式的内涵，此处0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png不仅仅是一个字母，而是一个符号，可以是具体数字，也可以是一个多项式。对于这个例题，多数学生会仿照课本上的思路用分析法进行证明。

第二个例题是利用基本不等式求最值进而解决实际问题，体现了基本不等式的应用价值，而且例题包含了公式的正向应用和逆向应用，锻炼了学生的灵活使用能力。

下面是小结环节。我将让学生用两分钟的时间回顾本节课所学习的内容，并自己总结出本节的知识点。这样不但能巩固本节所学知识，而且能培养学生分析、归纳、总结的能力。然后是布置作业。为了在课后对所学的知识进行巩固，我将布置课后习题第2题，第4题作为练习题。

六、板书设计。

为了帮助学生清晰地把握本节课的内容，掌握重点，突破难点，我将本节课的板书设计如下，这样学生看了便会一目了然。

基本不等式(7)

基本不等式
作者：吴心泼
来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2009年第01期

        (江都市仙城中学 江苏 江都225200 )

        

        【教学目标】 掌握基本不等式ab≤a+b2（a≥0,b≥0）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）。

        【教学重点】 能运用基本不等式求解简单的最大（小）值或范围问题。

        【难点疑点】

        1.基本不等式的变式：

        (1)a 2+b 2≥2ab(a,b∈R);(2)a+b2≥ab(a,b∈R +);(3)ba+ab≥2(ab>0); (4)a 2+b 22≥(a+b2) 2(a,b∈R)

        以上各式当且仅当a=b时取等号，并注意各式中字母的取值要求。

        2.四个“平均数”的大小关系：a,b∈R +,则2aba+b≤ab≤a+b2≤a 2+b 22,

        其中当且仅当a=b时取等号。

        3.应用基本不等式求函数的最大值和最小值时，要充分注意不等式的应用条件：“一正数、二定值、三相等”，即（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当调整。

        教学过程

        【热身训练】

        1.求函数y=4x 2+9x 2的最小值，并求函数取最小值时x的值.

        2.已知lgx+lgy=1,求5x+2y的最小值。

        3.求函数y=x+1x－2(x>2)的最小值。

        设计意图:通过题组训练复习基本不等式,观察学生对基本不等式的掌握程度,解题规范程度,引入知识要点,突出基本不等式运用的步骤。(以学生板演为主)

基本不等式(8)

§3.4　基本不等式：≤

材拓展

1．一个常用的基本不等式链

设a>0，b>0，则有：

min{a，b}≤≤≤≤≤max{a，b}，

当且仅当a＝b时，所有等号成立．

若a>b>0，则有：

b0)是奇函数，所以f(x)＝x＋(k>0)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数．

函数f(x)＝x＋(k>0)在定义域上的单调性如右图所示．

例如：求函数f(x)＝sin2x＋，x∈(0，π)的最小值．

解　令t＝sin2x，x∈(0，π)，g(t)＝t＋.

t∈(0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数，

所以当t＝1时，g(t)min＝6.

即sin x＝1，x＝时，f(x)min＝6.

法突破

一、利用基本不等式求最值

方法链接：基本不等式是求函数最值的有利工具，在使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察．

例1　求函数y＝的最大值．

解　设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，

则y＝.

当t＝0时，y＝0；

当t>0时，y＝≤＝.

当且仅当2t＝，

即t＝时等号成立．

即当x＝－时，ymax＝.

二、利用基本不等式解恒成立问题

方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a>f(x)恒成立⇔a>[f(x)]max，a0，

解得k＋10.

又loga(a－1)≠loga(a＋1)，

所以

1，∴a－1>0，

∴(a－1)＋≥2＝4.

∴ab≥9，当且仅当a－1＝，

即a＝3，b＝3时，取“＝”．

方法二　利用基本不等式a＋b≥2，把a＋b转化为ab，再求ab的范围．

∵a＋b≥2，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.

∴ab－2－3≥0，

∴(－3)(＋1)≥0.

∴≥3，∴ab≥9，

从以上过程可以看出：当且仅当a＝b＝3时，取“＝”．

方法三　把a，b视为一元二次方程x2＋(3－ab)x＋ab＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．

所以有：

其中由Δ＝(3－ab)2－4ab＝a2b2－10ab＋9

＝(ab－9)(ab－1)≥0，解得ab≥9或ab≤1.

∵x1＋x2＝ab－3>0，∴ab≥9.

又ab＝a＋b＋3，∴a＋b＝6，

∴当且仅当a＝b＝3时取“＝”．

题赏析

1．(2011·重庆)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)

A. B．4 C. D．5

解析　∵a＋b＝2，∴＝1.

∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.

答案　C

2．(2009·天津)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)

A．8 B．4 C．1 D.

解析　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.

因为a>0，b>0，

所以＋＝(a＋b)

＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b时，等号成立．

答案　B

赏析　本题考查了等比中项的概念、基本不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到．

基本不等式(9)

基本不等式教学反思

我对这节课做了如下的反思：

一．在教学过程中要充分发挥学生的主体地位

在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。

在这节课中，我设计了多个让学生讨论的环节，但是当我说了同学们可以和自己的同桌讨论一下自己获得的结论之后教室里还是会很安静。这样的课堂活动经过了一分钟后，我不得不自己来讲解我设计好的问题。此时我感觉到这节课已经失败了，因为我占据了本该属于学生的时间。

二．要设计好教学问题

在教学中应合理设计教学中所要用的问题，我设计的学生互动环节为什么没有成功呢？我想很大的原因是我没有设计好问题，在提问题时没有明确我要求他们要给我什么样的结果。在这节课中，我大部分的问题都是这样问的：请同学们自己首先来做一下这道题目，然后跟自己的同桌讨论一下自己的结果是否正确。当学生听到这样的问题时，他们首先会自己一个人去完成题目，而不会跟自己的伙伴合作完成。而且在数学教学中对问题的梯度设计很重要，因为新课程很强调概念的形成过程，而概念的产生是一个抽象的过程，所以在教学时要非常好的展示给学生概念是怎么产生的，而这个教学环节就要求教师能够设计好问题的梯度。

三．要学会设计有深度的问题

在本节课的教学中，我问的最多的问题就是：同学们明白了没有啊，或者对不对啊，是不是这样的啊这些肤浅的问题。而从课堂效果看，这些问题并没有调动学生的学习积极性，学生也只是机械的回答一下：是或者不是，对或者不对。使学生跟老师之间的沟通成了一种机械的问答过程。所以在以后的教学中我应该更加重视对问题深度的要求。

以上就是我对本节课的教学反思：多发挥学生的主体性地位，设计好教学问题并且要学会提有深度的教学问题。

基本不等式(10)

《基本不等式》教学反思

对于《基本不等式》这节课的教学过程，我有了很深刻的反思，原因是我认为这一节的内容很容易理解，但是在实际上课过程中却遇到了大问题。

在进行图形讲解时，学生十分配合，告诉我有正方形，有直角三角形。在他们的描述中我肯定的认为学生理解了图形，因此没有逐个问关于正方形与直角三角形的关系。而马上进入了下个环节，关于图形面积问题，此时学生仍在应和我，说出了直角三角形的斜边长，说出了正方形的面积。但当我问由四个直角三角形组成的正方形实际面积时，学生们都一声不吭了，教室里鸦雀无声。对于刚才还在积极和我互动的学生们，现在却没有了声音，我十分不解，再三追问下，他们仍然支支吾吾，我此时却是十分恼火了。就在这个时候，下课的铃声响起了。课后的我百思不得其解。最后只好单独询问一个程度好的学生，他告诉我，他们可能没有真正读懂图形。而我这时才明白，他们只是摸出了正方形的形状，也摸出了三角形的形状，但是它们是以什么形式组合在一起的却云里雾里。对此，我深深的感到了自责，对于一个从教多年的教师来说，犯这种低级错误，只能说明在教学中松懈了，在备课时没有充分考虑学生的实际。

首先，盲生本来对图形问题就存在强烈的排斥心理，他们总是觉得图形与他们没有关系，殊不知在数学中“数形”不分家。其次，大学生的自尊心，他们不愿意表现出自己不懂、不会，特别是一些在别人眼中简单易懂的内容。虽然不是很明白，但仍然随大流的附和老师，表示自己懂了，自己可以的。最后，教师在教学过程中没有细致的观察学生的反应，没有及时发现他们的难言之隐。我觉得自己应该做一下深刻的反省，越是自以为简单的东西越要考虑学生的实际，教学时间越长越不能掉以轻心。

基本不等式(11)

基本不等式教案

一、教学目标：

1、知识与技能：

①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；

②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。

2、过程与方法：

本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。

3、情感与价值：

培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。

二、教学重点和难点：

重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的多种解释；

难点：理解“当且仅当时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。

三、学法与教学用具：

先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。

四、教学设想：

1、几何操作，引入问题：

给出如右的所示的几何图形，是的直径，点是上任意一点，过点作垂直于的弦交于，连结、，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?

提问一：现在我们不妨假设，，那么的长度是多少？、

由为直径可知是直角三角形，再根据，容易证得∽，即得；

提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？

任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。

提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？

首先由垂径定理可知，，因此有，即为的一条弦长，而表示的是直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式，两边同时除以，不等式可以表示为：；再据上一问的结论，易知上述不等式可以成立当且仅当时(即当点与圆心重合时)，等号才成立。

提问四：深入思考，如果将不等式中的用替换，能够得到什么结论；这时，有什么条件限制吗？

替换之后，不等式即变为，当且仅当时等号成立；此时要求有。

2、代数证明，得到结论：

根据上面的几何分析结果，我们初步形成不等式结论：

①

若，则 ②

提问五：能否给出上述两个不等式严格的证明？(学生尝试证明后口答,老师板书)

证明①(作差法)：；

又当时，；当时，；

，当时取等号。

（注意强调：当且仅当时, 有等式成立）

证明②(分析法)：由于，于是

要证，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

只要证 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

要证④，只要证 ，　　　　　　　　　　　 ⑤

要证⑤，只要证 ，　　　　　　　　　　　　　⑥

显然，⑥是成立的，所以，当且仅当时取到等号。

于是我们得到这节课要学习的内容：

基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）

3、深化认识：

1.称为的几何平均数；称为的算术平均数。因此基本不等式的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

2.其实成立的条件仅需就可以，但或时定理显然成立，因此一般仅考虑的情况。

4、例题讲解：

例1、①已知，求证：　　②求证： （）

设计意图：通过简单例题，学生掌握证明格式，理解“前提条件”、“等号成立条件”；

例2、 若，且，求证：

设计意图：熟练运用基本不等式；不等式证明题中，等量关系条件的运用。

例3、（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值；（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为，深为。如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？

分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。

设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值。

例题总结：

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.

课堂练习

1 设均为正数，证明不等式：.

2已知都是正实数，求证：

5、思考讨论：

（1）设，求证：

（2）已知，且。求的最大值及相应的值。

6、归纳总结：

提问六：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？

②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？

综合学生的回答，教师再在此基础上总结：

（1）基本不等式： 若，则（当且仅当时，等号成立）

（2）运用基本不等式解决简单最大最小值问题，掌握解题的基本方法；在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，把握“一正、二定、三相等”。当条件不完全具备时，应创造条件使之具备条件。一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值.”。

（3）数学思想与方法技巧：

数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；基本不等式的几何解释（数形结合）；数形结合思想、“整体与局部”.

方法技巧：（1）换元法、比较法、分析法（2）配、凑等技巧。

教师归纳总结：

整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。例题的安排应该从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误。

7、测评设计：

（1）基本作业：课本习题组、题，组、题。

（2）提高练习：

①求的最小值（其中）.

②已知，求的最小值．

③已知，且，求的最小值．

④设，且，求的最小值．

⑤已知正数满足，求的最小值

五、教学后记、教学反思：

（教材：人教版新课标必修5）

基本不等式(12)

《不等式》的说课稿

各位领导、老师们大家好：

今天我说课的内容是北师版数学高中教材必修五第三章第一 二 三 节，我将从八个方面（教材、学情、教学模式、教学设计、板书、评价、开发、得失，出示ppt）说我对此课的思考和我的教学。

一、说教材

基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识, 它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。

本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。

二：说学情

学生在此之前,已经具备了圆和三角形的基本知识,熟知了三角函数的定义,掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。

三：说教学设计

《课程标准》对本节课有以下两个方面的要求：

1． 探索并了解基本不等式的证明过程；

2．会用基本不等式解决简单的最值问题；

结合“课标”的要求和学生的实际，我将本节课的教学目标确定为以下三点：

1. 通过观察背景图形，抽象出基本不等式；

2. 了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景；

3． 体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力；

四：、说教学模式

首先从背景图象出发，抽象出基本不等式，再从代数、几何两个方面进行证明，然后通过例题理解基本不等式的初步应用；最后通过课堂小结提高学生认识，加深印象。

五：教学媒体设计

为了顺利完成教学任务，实现教学目标，帮助学生理解教学难点，在媒体的使用上我做了以下安排：

制作了多媒体课件，借助几何画板动态地展示了知识的背景，增加了学生的感性认识，分解了难点；

六：教学过程设计

本节课我设计了以下六个步骤：

步骤一：创设问题情景，抽象重要不等式

新的教学理念更加注重知识产生的背景，重点体现知识的形成过程。为此，我设置了以下几个问题：

展示图片，抽象出几何图形（几何画板演示）

（1） （2）

问题1：同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? （学生的回答可能会很杂乱）

问题2:为了引导学生发现图中的不等关系，我又设计了以下三个小问题：

(1):我们把图（1）抽象成图（2）在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的直角边长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

(2)：那4个直角三角形的面积和呢？

(3)：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得怎样的式子呢？什么时候这两部分面积相等呢？（几何画板 ）

期望得到：对于任意实数、，，当时，等号成立。

问题3：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)

问题1的设计意图在于充分体现学生的主体地位，给学生创造联想的空间。问题2意在引导学生逐步探索，最终通过的自己发现而得到重要不等式，明确等号成立的情形，这里采用分步设问有效排除了障碍，又显得水到渠成。问题3意在让学生由直观感觉上升到理性证明，既体现数学的严谨性，又巩固了比较法的应用。

步骤二：由特殊到一般得到基本不等式

（教师说明代替要求，学生完成过程，亲身体验知识的来历）

特别地,如果,也可写成

，当a=b时，等号成立。

步骤三：了解基本不等式的代数证明（学生完成填空）

要证: ①

即证 ②

要证②,只要证 ③

要证③,只要证 ( - ) ④

显然, ④是成立的,当时, ④的等号成立。

由于没有知识铺垫，分析法对学生来说了解就行，完成填空即可。

步骤四: 探究基本不等式的几何解释

展示图形，

（1） （2）

观察图（1）AB是圆的直径，DE是垂直于直径的弦，其中AC＝a，BC＝b,提出问题4

问题4：你能从图形中得出DC和AB一半的大小关系吗？( DC )

观察图像（2），直角三角形ABD中，提出问题5

问题5：你能用a、b表示线段DC吗？

（教师引导学生考察 的大小，进而考察它们的正切值，得到 ；几何画板演示引导学生观察等号成立的时刻，得到 a=b时等号成立）。（几何画板 ）

图形（1）（2）由简单到复杂，问题4，5由易到难，将线段间的隐含关系逐步挖掘出来，分解难点螺旋上升降低了证明的难度，最终顺利地解决了问题。

步骤五：初步应用，加深理解

例题：

1. （1）两个正实数的积是81,当这两个数取什么值时,它们的和最小?

（2）. 两个正实数的和是12,当这两个数取什么值时,它们的积最大?

2．已知x、y都是正数，求证：≥2；

根据学生的接受能力，我安排了两道简单例题，让学生会初步应用基本不等式，引导学生观察例题的条件和所求，从而体会基本不等式的数学本质：两个正实数的和与乘积的不等关系。

步骤六：小结与作业布置

1、 本节课我们学习的主要内容是什么？

2、 证明基本不等式的过程中，应用了哪些数学思想和数学方法？

3、 基本不等式的数学本质是什么？

布置作业：

1、 课本习题P114页A组1；

2、 课后思考：应用基本不等式需要注意哪些事项？

作业1主要考察全体学生对基本不等式理解和初步应用情况，考察学生是否达到了本节课的教学要求。为了让学生在课后巩固本节内容的过程中探究基本不等式的使用条件，全面认识本节课的知识，同时也为下节课做好铺垫。

八： 教学评价设计

根据本节课的内容，我从以下三个方面进行教学评价：

1． 关注学生从实际背景中抽象数学知识的能力，通过学生的回答情况适度加以引导，做出评价；

2． 在学生探究过程时，通过教学观察，对学生积极参与的程度和主动合作的意识做出评价；

3． 通过课堂小结和作业反馈教学效果，以便查漏补缺。

以上我对本节课的一些理解和思考，不妥之处，敬请各位同事批评指正。谢谢！

基本不等式(13)

《基本不等式》说课稿

尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《基本不等式》。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学重难点、教学方法、教学过程等几个方面展开我的说课。

一、说教材

我认为要真正的教好一节课，首先就是要对教材熟悉，那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。《基本不等式》在人教A版高中数学必修五第三章第四节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。

二、说学情

教材是我们教学的工具，是载体。但我们的教学是要面向学生的，高中学生本身身心已经趋于成熟，管理与教学难度较大，那么为了能够成为一个合格的高中教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生思维能力已经非常成熟，能够有自己独立的思考，所以应该积极发挥这种优势，让学生独立思考探索。

三、说教学目标

根据以上对教材的分析以及对学情的把握，结合本节课的知识内容以及课标要求，我指定了如下的三维教学目标：

(一)知识与技能

掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

(二)过程与方法

在经历基本不等式的推导与证明过程中，提升逻辑推理能力。

(三)情感态度价值观

在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

四、说教学重难点

并且我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：基本不等式的形式以及推导过程。而作为高中内容，命题的严谨性是必要的，所以本节课的教学难点是：基本不等式的推导以及证明过程。

五、说教法和学法

那么想要很好的呈现以上的想法，就需要教师合理设计教法和学法。根据本节课的内容特点，我认为应该选择讲授法，练习法，学生自主思考探索等教学方法。

六、说教学过程

而教学方法的具象化就是教学过程，基于新课标提出的教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。我试图通过我的教学过程，打造一个充满生命力的课堂。

(一)新课导入

教学过程的第一步是新课导入环节。

我先PPT出示的是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的。

提问：你能在这个图中找到不等关系么?

引出课题。

通过展示会标并提问的形式，一方面可以引发学生的好奇心和求知欲，激发学生的学习兴趣;另一方面直入课题，可以很好的过渡到今天的主题内容：推导基本不等式。

(二)新知探索

接下来是教学中最重要的新知探索环节，

1.通过导入的问题，学生思考：通过赵爽弦图推可以发现哪些不等关系呢?

学生小组探究：利用赵爽弦图推导出基本不等式。

之后请学生把证明过程进行板书：

(2)一段长为36m的篱笆围成矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大?最大面积是多少?

这样的问题能够兼顾到本节课的所有主要内容，并且问题具有层次性，能让学生初步感知基本不等式应用中“积定和最小，和定积最大”的规律，为后续基本不等式的应用做好了铺垫，利于学生的思维发展。

(四)小结作业

在课程的最后我会提问：今天有什么收获?

引导学生回顾：基本不等式以及推导证明过程。

本节课的课后作业我设计为开放性问题：思考还有什么方法能够证明基本不等式?可以利用书本资料，也可以上网查阅资料。

这样的作业设置能够有效激发学生思考，不限制学生的思维，真正做到以学生为主体，让学生学会自主学习。

七、说板书设计

我的板书设计遵循简洁明了突出重点部分，以下是我的板书设计：

基本不等式(14)

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号

学员编号： 年 级：高一 课时数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：王丽丽

课 题

不等式的基本性质和基本不等式

授课日期及时段

教学目的

1. 掌握不等式的常用性质.

2. 利用基本不等式证明一些不等式，并能运用基本不等式求最值.

教学内容

【上节内容回顾】

【知识点梳理】

1. 不等式的基本性质：

（1）（对称性）.

（2）（传递性）.

（3）；.

（4），；.

（5）；.

（6）.

（7）.

2.基本不等式：

（1）若，则，当且仅当时取“等号”.

（2）若，则（基本不等式），当且仅当时取“等号”.

（3）若，则.

（4）若，则.

（5）若，则.

（6）若，则，当且仅当时取“等号”.

（7）若，则（三元均值不等式）.

【例题精讲】

例1.已知都是实数，比较的大小.

例2.比较与的大小.

例3.设，（其中），试比较的大小.

例4.已知函数满足，，求的取值范围.

例5.已知，求函数的最大值.

例6.设为常数，求函数的最小值.

例7.如图所示，是变长为的正方形对对角线上的一点，连结,并延长交于点.求和面积和的最小值及此时的长.

【知识点强化练习】

1.函数的值域是（ ）

A、 B、 C、 D、

2.函数的值域为 ．

3.已知，且，求的最小值．

4.已知都是正实数，切，求证：．

5.当时，求的最大值.

6.已知，，求的最小值.

7.若，且，求的最大值.

8.若是正数，求的最小值.

【课堂小结】

【回家作业】

Ⅰ.整理错题

Ⅱ.课后习题

1.是的（ ）

A、充要条件 B、充分非必要条件 C、充分非必要条件 D、非充分非必要条件

2.已知，则下列不等式中正确的是（ ）

A、 B、 C、 D、

3.若，则下列不等关系中不能成立的是（ ）

A、 B、 C、 D、

4.若且，则下列各式中，恒成立的是（ ）

A、 B、 C、 D、

5.已知，，则下列等式中，正确的是（ ）

A、 B、 C、 D、

6.下列命题中，正确的是（ ）

A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则

7.已知“”且“”，则与此判断等价的是（ ）

A、且 B、且 C、且 D、且

8.已知且，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A、 B、 C、 D、

9.设，则下列各式中正确的是（ ）

A、 B、 C、 D、

10.若，，则下列各式中最大的一个是（ ）

A、 B、 C、 D、

11.函数的最小值是（ ）

A、4 B、2 C、1 D、不能确定

12.两个正数满足，则下列各式中，恒成立的是（ ）

A、 B、 C、 D、

13.若，将从小到大进行排列.

14.证明的充要条件是.

15.已知，求证，并指出等号成立的条件.

16.已知，在直角三角形中，斜边长为，两条直角边长分别为，求证：，并指出取等号时，三角形的形状.

17.已知，求的最大值.

18.设为正数，且，求的最小值，并指出此时的取值.

基本不等式(15)

基本不等式：

一 基本不等式

（1）重要不等式

一般地，对于任意实数，都有，当且仅当时等号成立.

注：①取等的条件是，若果不能相等，则中的等号不能成立.

②重要不等式可变形为，，.

例：已知实数满足，，则的最大值是_____.

（2）基本不等式

基本不等式公式：如果，那么，当且仅当时，等号成立.其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.

注：①基本不等式成立的条件是：.

②基本不等式可变形为：，.

例1 若，证明.

例2 下列说法正确的是（）

函数的最小值为.

函数的最小值为.

函数的最小值为.

函数的最小值为.

练习1下列不等式：①；②；③若，，④若，则.其中正确的是____.②③

练习2 已知， ，则___.（填）

二 利用不等式求最值

（1）最值定理

已知都是正实数.

①如果积是定值，那么当时，有最小值;

②如果是定值，那么当时，积有最大值.

“积定和最小，和定积最大”

（2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.

如：1 已知，则的最大值为____.

2 已知为正实数，且，则的最小值为___.

例1若，则的最大值为____.-12

例2 函数的最小值为____.5

例3函数的最小值为______.

练习1已知，则函数的最大值为_____.1

练习2，，则的最小值____.4

例3 已知函数，当时，取得最小值，则__.3

三 利用基本不等式求最值的几种常用方法

（1）常值代换法

对于“已知，求的最小值”和“已知，求的最小值“的问题常用常值代换法.

例1若正数满足，则的最小值____.5

例2已知，则的最小值为___.16

练习1设，，则当___时，取得最小值.-2

练习2已知为正数，且，则的最小值___.

（2）换元法

对于单个分式类型的函数求最值问题，可以采用换元法将其转化成的形式，然后利用基本不等式求得其最值.

例1函数的最大值为_____.

例2函数的最小值为_____.7

练习1函数的最大值____.

（3）消元法

对于给出关于正数的一个恒等式，让求关于某个代数式的最值问题可以利用恒等式将用含有的代数式来表示（或者用的代数式表示），将其转换成求函数的最值问题，但是在消元后一定要注意自变量的范围.

例 设均为正实数，且，则的最小值是____.16l

练习 已知正实数，且，则函数的最小值为____.

（4）配凑法

由于用基本不等式求最值需要满足“一正，二定，三相等”所有有时候我们要通过拆项，添项，配凑的方法使得和或者积成定值，然后用基本不等式求得最值.

例 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为____.1

练习 设，则的最小值是____.4

四 与基本不等式相关的不等式恒成立问题

例1已知关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值为___.

例2已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为____.

练习1若对于任意，恒成立，则的取值范围为____.

练习2若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是____.

基本不等式(16)

澜沧拉祜族自治县第一中学教案

【基本不等式】

学科：数学 年级：高三 班级：202、203

主备教师：沈良宏 参与教师：刘世杰 郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清

一、教材分析：本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.

二、教学目标：

1、知识与技能：

（1）掌握基本不等式,认识其运算结构；

（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；

（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法：

（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；

（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度与价值观：

（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；

（2）体会多角度探索、解决问题。

三、教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；

通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。

四、教学难点：基本不等式使用限制条件

基本不等式等号成立条件

基本不等式在最值问题中的运用

五、教学准备

1、课时安排： 2课时

2、学情分析：高三的学生对于基本不等式已经有了初步认识，但是知识不成体系，通过课前的预习和课上两个例题及其变式的解决，使得学生对于基本不等式的使用注意点会有更为深刻的理解。

3、教具选择：多媒体

六、教学方法：启发引导、师生合作探究

七、教学过程

1、自主导学：

（一）课题引入：卖家诚信吗？

从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤短两，于是他想出了一个办法：

先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售，你觉得，店主这个买卖做到诚信无欺了吗？请说明理由.

利用几何画板演示，让学生清楚的看到两个互为倒数的正实数算术平均值是不小于1的，留下疑问。

（2）知识建构：

1. 重要不等式：

下图是根据赵爽的弦图设计的，初中时，曾利用该图证明过勾股定理（），现在，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？你能给出它的证明吗？

对于任意实数,有___，当且仅当_______时，等号成立.

2. 代数证明：实为求证：已知，证明：

简单变形： ___

思考：如果用与整体替换和，式子会变形为？此时的与有没有什么限制？

（三）要点直击：

1. 基本不等式：对于任意 ，有___，当且仅当_______时，等号成立.

2. 两个子概念：

的算术平均： ；的几何平均：

思考：基本不等式与重要不等式对的范围限制相同吗？

3. 适用条件：基本不等式适用的条件是： >0， >0.

4. 等号成立条件：

2、合作探究

（1）分组探究：活动探究：

1. 几何意义：试用来表示圆内的线段和，则它们之间的大小关系怎样？

2. 最值问题使用探究：

若将基本不等式两边同时做平方运算，可以得到其简单变形：

若将基本不等式两边同时乘以2，可以得到其又一简单变形：

基本不等式的变形式：①；②

通过观察基本不等式的两个基本变形，发现和与积之间的相互制约，思考在最值中的作用。

3. 演示探究：

试做出圆O内的弦 试做出以线段AB为弦的圆

（2）教师点拨：可以发现：

1.当圆的直径固定时，也即是一个定值，即和为定值，那么弦长可以有最 值

2.当圆有一条定弦时，也即是一个定值，即积为定值，那么直径可以有最 值

总结：和定积最 ，积定和最 .

变式1：下列各式中，最小值等于2的是(　　)

A. B. C． D．

例2. 两个正实数，其中，则的最大值为？

3、巩固训练：

例1. 当时，函数的最小值为？

思考：（1）若函数改为，还能利用基本不等式求其最小值吗？

（2）若函数改为，其最小值为？在为何值时取到？

（3）若函数改为，还能利用基本不等式得到与上例相同的最小值吗？为什么？

要点提炼：利用基本不等式处理最值问题的要点简记：一 二 三

2. 两个正实数，其中，若有恒成立，则的取值范围为？

3. 已知为正实数，且，求的最小值.

4、拓展延伸：

变式1：下列各式中，最小值等于2的是(　　)

A. B. C． D．

例2. 两个正实数，其中，则的最大值为？

5、师生合作总结：

（1）本节课我们学习的主要内容是什么？

（2）在应用基本不等式时，需要注意哪几点？

用基本不等式时要注意不等式的结构特征、等式成立条件及等号成立条件．

八、课外作业：

九、板书设计：

课题：

基本不等式

探究：基本不等式

10、教学反思：（注：教学实施后写）

成功之处：在本节课教学中，一是问题情境的创设与生成始终渗透是一大亮点，让学生始终从数和形两方面加深对不等式的认识；二是源于课本，对教材的加工、改造和策划成功，做到了既贴近学生的最近发展区，又有效地达成了本节课的教学标准.

改进之处：由于本节课教学预设特别充分，因此实际生成容易受到到学生对象的制约，教学节奏不够理想，过程展开不够充分，课堂结尾显得有些仓促.

基本不等式(17)

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧

【基本知识】

1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）

2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）

(3)若，则 (当且仅当时取“=”）

(4) 当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

4.若，则（当且仅当时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3) 熟悉一个重要的不等式链： 。

【技巧讲解】

技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）

1：已知，求函数的最大值。

2. 当时，求的最大值。

3：设，求函数的最大值。

4、求函数的最小值。

5 已知，且满足，求的最大值.

6已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

7 若且,求的最小值 .

技巧一答案：

1解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，

，

当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

3、解：∵∴∴

当且仅当即时等号成立。

4解析：

，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

5、分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式.

　　　

当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是.

6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

同时还应化简中y2前面的系数为， x＝x＝x·

下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝ 即x＝·x≤

　　7分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了.

技巧二： 分离或裂项

1. 求的值域。

2求函数的值域.

1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。

2、解：可将上式转化为

所以值域为：

技巧三：换元

1、求的值域。

2、求函数的最大值.

3、、已知正数x、y满足，求的最小值。

4、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

参考答案：

　　1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

2分析 可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.

3、解法三：（三角换元法）

令则有

，易求得时“=”号成立，故最小值是18。

技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）

1、 已知正数x、y满足，求的最小值。

2、已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

3、设为正实数，，则的最小值是.

1解法：（消元法）

由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。

法一：a＝， ab＝·b＝

　　　由a＞0得，0＜b＜15

　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8

　　　∴ ab≤18 ∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

3分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.

技巧五：整体代换(条件不等式)

1：已知，且，求的最小值。

2、已知正数x、y满足，求的最小值。

1错解： ，且， 故 。

错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：，

当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。

变式： （1）若且，求的最小值

(2)已知且，求的最小值

2、解法：（利用均值不等式）

,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。

技巧六：转化为不等式

1. 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

2、已知正数满足，试求、的范围。

1解：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2

　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3

　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.

1解法：

由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。

又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是

技巧六：取平方

1、 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.

2: 求函数的最大值。

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

　＋≤＝＝2

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

　　∴ W≤＝2

解析：注意到与的和为定值。

又，所以

当且仅当=，即时取等号。 故。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。

1：求函数的值域。

2、若x、y，求的最小值。

1解：令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

2解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。

证明：

任取且，则

，

∵，∴，

则，即在上是减函数。

故当时，在上有最小值5。

解法二：（配方法）因，则有，易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。

解法三：（导数法）由得，当时，，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。

解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

练习：

2.若实数满足，则的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

解：都是正数，≥

当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．

3若，求的最小值.并求x,y的值

求下列函数的最大值：

① ②

解析：

①，∴

，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。

,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。

4.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

5.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

基本不等式(18)

基本不等式与绝对值不等式

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

120

知识点

基本不等式、绝对值不等式

教学目标

1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

2.会解绝对值不等式，并能应用绝对值不等式解决综合问题

3.通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力

教学重点

均值定理证明、绝对值不等式的理解.

教学难点

基本不等式“等号”成立条件、绝对值不等式的解法及运用

教学过程

1、新课导入

前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究算术平均数与几何平均数之间的关系及一些含有绝对值的不等式的证明问题.
二、复习预习

1.基本不等式的定理及推论.

2.如何运用基本不等式解决问题.

3.绝对值不等式的定理及推论.

4.如何运用绝对值不等式证明问题.

三、知识讲解

考点1 基本不等式

1．基本不等式：如果.

2．定理：如果a,b是正数，那么

3.公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2.

4．若≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号.

5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）.

6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）.

7.关于“平均数”的概念

如果 则：叫做这n个正数的算术平均数；叫做这n个正数的几何平均数.

推广： ≥

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

考点2 绝对值不等式的定理及推论

1.定理：.

注意：

1 左边可以“加强”同样成立，即.

2 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”.

推论1：≤.

推论2：.

四、例题精析

考点1 基本不等式

例1 已知为两两不相等的实数，求证：.
【规范解答】

∵

以上三式相加：

∴.

【总结与反思】此题在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.

例2 已知a,b,c,d都是正数，求证：．

【规范解答】

∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0

得

由不等式的性质定理4的推论1，得

即.

【总结与反思】用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.

例3 已知a , b, c R,

求证：1

2

3 .

【规范解答】

证明：1 法一：, , 两式相乘即得.

法二：左边

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9.

2 ∵

两式相乘即得.

3 由上题：

∴

即 .

【总结与反思】基本不等式的灵活运用.

例4 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).
【规范解答】

设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0）

∴a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0）,∴b＝ （0＜a＜30）

由题设：y＝，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值

∴y＝＝≥

∴当且仅当a＋2＝时取“＝”号，即a＝６，b＝3时ab有最大值18

故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.

【总结与反思】均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立.

例5 求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？

解一： ，∴

解二：当即时，

.

【规范解答】

以上两种解法均有错误

解一错在取不到“=”，即不存在使得；

解二错在不是定值（常数）

正确的解法是：

当且仅当即时

【总结与反思】基本不等式成立条件：一正、二定、三相等.

例6 若，求的最值.

【规范解答】

∵

∴ ，

从而 ，

即.

【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.

例7 设且，求的最大值.

【规范解答】∵

∴

又，

∴

即

【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.

例8 已知且，求的最小值.

【规范解答】

当且仅当即时.

【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.

考点1 绝对值不等式的定理及推论

例9 设a, b, c, d都是不等于0的实数，求证≥4.
【规范解答】

∵

∴ ①

②

又 ③

由①，②，③式，得

.

【总结与反思】此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.

例10 已知|a|＜1,|b|＜1,求证＜1．

【规范解答】

＜1＜1

由|a|＜1,|b|＜1,

可知（1－a2）(1－b2)＞0成立，

所以 ＜1.

【总结与反思】此题运用了|x|＜ax2＜a2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性.

例11 已知 当a b时 求证：．

【规范解答】

证法一：

证法二：（构造法）如图，

，

由三角形两边之差小于第三边得.

【总结与反思】证明不等式也可构造三角形处理，运用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边.

例12 求证:(1) |x+1|+|x-1|≥2；

(2) |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6；

(3) 2|x+2|+|x+1|≥1(当且仅当x=-2时,“=”号成立).
【规范解答】

(1)|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2

(2)|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2

当且仅当(x+1)(x-1)≤0,即-1≤x≤1时“=”成立;

又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,

当且仅当(x+2)(x-2)≤0,即-2≤x≤2时“=”号成立

∴|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6,

当且仅当即-1≤x≤1时“=”号成立

(3)|x+2|+|x+1|≥|(x+2)-(x+1)|=1,

当且仅当(x+2)(x+1)≤0,即-2≤x≤-1时“=”号成立;

又|x+2|≥0,当且仅当x=-2时，“=”号成立,

∴2|x+2|+|x+1|≥1,

当x=-2时，“=”号成立

【总结与反思】注意定理.及推论的运用.

例13 设f (x) = x2＋px＋q, 求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不小于.

【规范解答】

（反证法）假设原命题不成立，则|f(1)|＜,|f(2)|＜,|f(3)|＜,

∴|f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|＜2 ①

由f(1)=1+p+q,

f(2)=4+2p+q,

f(3)=9+3p+q.

得f(1)+f(3)－2f(2)=2

∴|f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)－2f(2)|=2

这与①矛盾，故假设不成立，求证为真.

【总结与反思】此题正面证明较为困难，“正难则反”，引导学生尝试“反证法”证明.

课程小结

1.本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具.

2.用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式可以顺利解决函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.

3.通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性.

4.灵活掌握绝对值的性质、不等式的性质，算术平均数与几何平均数的定理对不等式进行证明.

基本不等式(19)

对于ex和lnx与其他代数式相结合的问题，常把ex和lnx放缩，然后可以化简或判断导数的正负．两个常见放缩公式：

①ex≥1＋x，(x∈R),当且仅当x＝0时取等号；

②lnx≤x－1，(x＞0)，当且仅当x＝1时取等号

角度1构造函数

证明：ex≥1＋x，(x∈R),当且仅当x＝0时取等号

证明：lnx≤x－1，(x＞0)，当且仅当x＝1时取等号

角度2 切线

1.曲线在点（0,1）处的切线方程 .

结论:

2.曲线过点（0,0）处的切线方程 .

结论:

3.曲线在点（1,0）处的切线方程 .

结论:

4.曲线过点（0,0）处的切线方程 .

结论:

角度3 代换

得 .

得 .

得 .

.

.

.

得 .

画出下列函数的草图。注意单调性及函数值的正负。

基本不等式19篇

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