等差数列前n项和公式6篇

等差数列前n项和公式6篇

等差数列前n项和公式(1)

《等差数列的前n项和公式》教学设计

教材分析:

等差数列是中职教育课程改革国家规划新教材基础模块下册第六章第二节内容，是学生学习了等差数列的定义 、通项公式后，对数列知识的进一步学习。数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。

学情分析：

职高一年级学生有一定的观察分析能力和归纳推理能力，但是职高学生基础薄弱，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，虽然对等差数列有了一定的了解。但是由于学生是第一次接触到数列的求和,缺乏相关经验,因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

教学目标 ：

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；

（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2、能力目标

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学重点、难点 ：

1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

设计理念 ：

在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学策略：

用游戏的方法调动学生的积极性

教学步骤：

问题呈现阶段

探究发现阶段

公式应用阶段

教学过程：

(一) 创设问题情境

1.故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

高斯的方法：

首项与末项的和：1+100=101

第2项与倒数第2项的和：2+99=101

第3项与倒数第3项的和：3+98=101

……

第50项与倒数第50项的和：50+51=101

∴前100个正整数的和为：101×50=5050

2.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

：在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形，将两个三角形拼成平行四边形. 让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

上述故事归结为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和

2. 求等差数列1，2，3，…，21前21项和

（二）等差数列求和公式

一般地，称为等差数列的前n项的和，用表示，即

1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示：

①

②

由①+②，得

由此得到等差数列的前n项和的公式

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、 除此之外，等差数列还有其他方法吗？当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

=

=

=

=

　　这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，这两个公式的共同点都有四个量，都有和n，都可以“知三求一”，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

:让学生参与知识的形成过程,提高兴趣,体验成就感. 对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。

（三）公式运用，变式训练

等差数列的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填下表:

：通过变式练习，可以加深学生对公式的理解和记忆，并能在应用公式时做出正确选择。

（四）例题分析

例1.已知等差数列中，=－８，a10＝106,求s10

学生观察分析:知三求一，首先找出已知那三个量，求那个量，然后再判断使用哪一个求和公式，最后让学生共同计算结果。

例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.

:让学生观察分析，灵活应用公式，培养学生转化能力、计算能力，同时渗透方程思想。

（五）随堂练习

书10页练习6.2.3

（六）反思与评价

1．用倒序相加法推导等差数列前n项和公式

2．用推导的两个公式灵活解题。

3．特别注意Sn公式中项数n的值。

（七）课外作业

必做题：课本11页习题6.2 a组 第5、6、7题。

选做题：课本12页习题6.2 B组 第1、2题

(八):板书设计

(九)教学反思

1、针对学生实际合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导。例如：等差数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出；而第二个公式并不象书本上那样直接给出，而是让学生从习题中进行归纳总结得到的。这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼。

2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深，由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3、在教学中，鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，渗透了数形结合的数学思想。

总之，教师要树立正确的教材观，尊重教材但不惟教材，基于教材又能再生教材以促进学生主动学习和谐发展。

等差数列前n项和公式(2)

等差数列的前n项和

一、教材分析

等差数列的前ｎ项和是数列高考中的重要内容，也是数列研究的基本问题。在现实生活 中，等差数列求和问题的实例也比比皆是，等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ 项和提供了一种重要方法．

教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式。为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题。

二、教学目标

1. 通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力。

2. 理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力。

3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法。

三、教学内容

这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用。对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题。对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系。为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式。对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸。

4、教学重点

这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题。

5、教学难点

这节内容的难点是前ｎ项和公式推导思路的形成。

六、教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.

七、教学方法

讲授法.

八、教学设计

（一）、知识回顾

1、等差数列的定义：

{an }是等差数列 an-a(n-1)=d（n≥2）

2、通项公式：

an=a1+（n-1）d

3、重要性质：

（1）an=am+(n-m)d

(2) m+n=p+q am+an=ap+aq

（二）、问题情景

1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？

他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050。

2. 受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和。

3. 高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？

（三）、建立模型

1. 数列的前ｎ项和定义

对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn。

2. 等差数列的求和公式

（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？

对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：

Sn＝a1+（a1+d）+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]， ①

依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]。 ②

由①+②，得 2s=（a1+an）+（a1+an）+……+（a1+an）=n（a1+an）

由此得到等差数列的前n项和公式 Sn=n（a1+an）/2

小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法。

（2）结合通项公式an＝a1+(n-1)d，又能得怎样的公式？

（3）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？

学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ。因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式。公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”。

(四)、解释应用

［例 题］

1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn。

（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．

（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．

注：恰当选用公式进行计算。

2. 已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？

分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于a1与d的二元一次方程，由此可以求得a1与d，从而得到所求nｎ项和的公式。

解：由题意知

S10=310 s20=1220

代入公式

解得：

注：（1）引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，a1,n或者a1，n，d的方程，使学生能把方程思想和前n项和公式相结合，再结合通项公式，对a1，d，n，an及Sn这五个量知其三便可求其二。

（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法，可以引导学生灵活运用公式。

3. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

引导学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为50的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．

解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a1=500，d=50。

那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为

s10=10×500+10×（10-1）×50÷2=7250

答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．

注：引导学生规范应用题的解题步骤．

4、在等差数列{a_n }中，已知d=1/2，an=3/2， sn=-15/2，求a1及n

解： an= a1+（n-1）d=3/2 ，sn= na_1+(n（n-1）d)/2 = -15/2

4、归纳与总结

1、等差数列前n项和概念

sn= a1+a2+a3+······+an

2、等差数列前n项和公式

（1）Sn=n（a1+an）/2

（2）

3、通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个。

［练 习］

1. 一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10km/h开始，每隔2ｓ速度提高20km/h。如果测试时间是30s，测试距离是多长？

2、等差数列{a_n }的前n项和s_n，已知a_5=8，s_3=6，求s_n的表达式。

3. 求集合M＝｛m｜m＝2n—1，n∈N*，且m

等差数列前n项和公式(3)

《等差数列的前n项和公式》教学设计

职业技术学校 刘老师

大纲分析：

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

教材分析：

数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。

学生分析：

数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。

教学目标：

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法目标：

培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。

情感、态度与价值观目标：

体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。

教学重点与难点：

等差数列前n项和公式是重点。

获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

教学用具：ppt

整节课分为三个阶段：

问题呈现阶段

探究发现阶段

公式应用阶段

问题呈现1：

首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+…+100。

紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。

200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，

10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050

【设计说明】 了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。

问题呈现2：

图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯

算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,引 引导学生去思考,如何将图与高斯的倒序相加结合起来,让

他们借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形.

word/media/image5_1.png

获得算法：

【设计说明】

• 源于历史，富有人文气息.

• 图中算数，激发学习兴趣.

这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础.

探究发现1：

问题3：

由前面的例子，不难用倒序相加法推出

【设计说明】

在前面两个问题的基础上，问题呈现3提出了等差数列求和公式的推导，鼓励学生利用“倒序相加”的数学方法推导公式。

探究发现2：

根据等差数列求和公式1和等差数列通项公式,推出等差数列公式2

问题4

探究发现3：

有这样一个梯形，上底长为，下底长为，高为，求这个梯形的面积为多少平方米？

面积公式：

word/media/image20_1.png

【设计说明】

利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式，让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。

公式应用

• 根据题目选用公式

• 利用通项求中间量

• 依据条件变用公式

例1、已知等差数列{an}中，a1=-8,a20=106,求s20

分析：本例提供了两个数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

解：由已知条件得

s20= =980

例2、求等差数列1,4,7,10…的前100项的和。

分析：本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。事实上，根据提供的条件再与公式对比，通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。

解：已知a1=1,d=3,n=100,

所以有s100=100×1＋ ×3=14950

巩固练习：

1、根据下列条件，求相应的等差数列{an}的Sn

2、求等差数列-13，-9，-5，-1,3…的前100项的和

课堂小结：

回顾从特殊到一般的研究方法；

体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想；

掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

作业布置：

必做题：课本第10页 习题6.2.3：1、2

选做题：课本第12页 第8题

【设计说明】出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

教学反思：

本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．本节课的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。

等差数列前n项和公式(4)

《等差数列的前n项和公式》教学设计

职业技术学校 刘老师

大纲分析：

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

教材分析：

数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。

学生分析：

数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。

教学目标：

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法目标：

培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。

情感、态度与价值观目标：

体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。

教学重点与难点：

等差数列前n项和公式是重点。

获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

教学用具：ppt

整节课分为三个阶段：

问题呈现阶段

探究发现阶段

公式应用阶段

问题呈现1：

word/media/image1.gif

首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗也就是计算1+2+3+…+100。

紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。

200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，

10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050

【设计说明】 了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。

word/media/image2.gif问题呈现2：

图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石

在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯

算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,引 引导学生去思考,如何将图与高斯的倒序相加结合起来,让

他们借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形.

获得算法：

【设计说明】

• 源于历史，富有人文气息.

• 图中算数，激发学习兴趣.

这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础.

word/media/image3.gif探究发现1：

问题3：

由前面的例子，不难用倒序相加法推出

word/media/image4.gif

【设计说明】

在前面两个问题的基础上，问题呈现3提出了等差数列求和公式的推导，鼓励学生利用“倒序相加”的数学方法推导公式。

探究发现2：

word/media/image5.gif根据等差数列求和公式1和等差数列通项公式,推出等差数列公式2

问题4

word/media/image6.gif

word/media/image7.gif

探究发现3：

word/media/image8.gif有这样一个梯形，上底长为5af9e7c2d02f994ddb8307f8ecba86cf.png，下底长为d81e365ef2d0cb191145a767e4e3a5df.png，高为cd49df3838ca2b997ec7d25572a87b19.png，求这个梯形的面积为多少平方米

word/media/image12.gif面积公式：

word/media/image13.gif

【设计说明】

利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式，让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。

公式应用

• 根据题目选用公式

• 利用通项求中间量

• 依据条件变用公式

例1、已知等差数列{an}中，a1=-8,a20=106,求s20

分析：本例提供了两个数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

解：由已知条件得

word/media/image14.gif s20= =980

例2、求等差数列1,4,7,10…的前100项的和。

分析：本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。事实上，根据提供的条件再与公式对比，通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。

解：已知a1=1,d=3,n=100,

word/media/image15.gif所以有s100=100×1＋ ×3=14950

巩固练习：

1、根据下列条件，求相应的等差数列{an}的Sn

word/media/image16.gif

2、求等差数列-13，-9，-5，-1,3…的前100项的和

课堂小结：

回顾从特殊到一般的研究方法；

体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想；

掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

作业布置：

必做题：课本第10页 习题6.2.3：1、2

选做题：课本第12页 第8题

【设计说明】出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

教学反思：

本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．本节课的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。

等差数列前n项和公式(5)

等差数列的前项和教学设计

教学目标：1掌握等差数列的前项和公式，学会用公式解决一些实际问题

2初步了解等差数列前项和公式的推导方法：倒序相加法

3 熟记等差数列前项和公式

教学重点：等差数列前项和公式

教学难点：等差数列前项和公式推导思路的获得

教学方法：学生自学

教学方法

引入探究：

学生自学课本数学王子高斯求1+2+3+…+100方法思考以下问题

1、1、2、3…实质是一个什么样的数列？

2、为什么会想到把最后一项和第一项相加，理论根据是什么？

3、这种方法能推广到求一般等差数列的前项和公式吗？

知识形成

让学生看课本42---43例题以上(约10分钟)s

学生看课时提出以下问题

1在求等差数列前项和时用到了倒序相加,通过学习你对倒序相加了解多少?什么样的情况下可以用倒序相加法?

2等差数前项和公式有两个,你能熟记吗?(熟练掌握目前是不可能的)

3这两个公式有什么区别,他们分别从哪些角度反映了等差数列的性质?

公式和公式可以转化,前者反映了等差数列中任意的第K项与倒数第K项的和等物首项与末项的和这个内在性质,后者反映了数列的前项和与它的首项、公式之间的关系，而且是关于的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。

4如果一个等差数列知道了公式与末项，你是否能写出其通项公式？

实际上，如果一个数列是等差数，反过来仍是等差数，公差变为

注意问题

1公式反映了等差数列中任意的第K项与倒数第K项的和等物首项与末项的和这个内在性质，这个性质是等差数列中比较重要的性质，因此教师在讲时，一定要推广到一般情况即在等差数列中，如果

则有

2倒序相加是数列中的一个重要思想,一定要在学生头脑中留有较深印象。

3避免引出公式后，不管学生对公式掌握如何，就引入前项和一些性质及大题习题，在教学中支持记住公式以便做题；反对用做题来记公式。

4等差数列前项和与二次函数的关系一定要讲清楚，以免学生混淆。

知识掌握

1 已知一个等差数列前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能三确定这个等差数列的前项和的公式吗?

分析:将已知条件代入等差数列前项和的公式后,可得到两个关于与的关系式,它们都是关于与d的二元一次方程,由此可以求得与d,从而得到所求前项的和公式.

解:由题意知

将它们代入公式

得到

解这个关于的方程组,得到

=4, d=6

所以

注意:为了避免学生记得过多,该题讲完后不要引入下面性质,可以在后继学习中引入

如果数列是等差数,那么,……仍是等差数列.

知识巩固

1根据下列各题中的条件,求相应的等差数的前项和.

2已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式.

第2题在教学中一定要细,让学生明白数列通项公式与前项和的关系.

这中间学容易忽略对=1的讨论

作业:46页A组中5,6

小结:本节着重学习了等差数列前项和公式以及等差数列前项和公式与二次函数的关系.

等差数列前n项和公式(6)

2.2　等差数列的前n项和

第一课时　等差数列前n项和公式及性质

　　　　 　 　　　　　　 　　　　　　 　　

【选题明细表】

知识点、方法

题号

易

中

等差数列前n项和公式应用

1、3、9

7、8

等差数列前n项和性质的应用

2、4

等差数列性质的综合应用

5、6

基础达标

1.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于(　B　)

(A)40 (B)42 (C)43 (D)45

解析:∵a1=2,a2+a3=13,

∴3d=13-4=9,∴d=3,

a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B.

2.等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为(　B　)

(A)28 (B)29 (C)30 (D)31

解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)an+1,

S偶=a2+a4+…+a2n=nan+1,

∴S奇-S偶=an+1=29.故选B.

3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a8=6+a11,则S9等于(　D　)

(A)27 (B)36 (C)45 (D)54

解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6,

∴S9===9a5=54.故选D.

4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　B　)

(A)63 (B)45 (C)36 (D)27

解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,

∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B.

5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若an+1-+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于(　A　)

(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

解析:由已知得2an-=0,

又an≠0,∴an=2,

∴S2n-1===2(2n-1),

∴S2n-1-4n=-2.故选A.

6.等差数列{an}中,已知a14+a15+a17+a18=82,则S31=　　　　. 

解析:结合已知条件,运用性质可以得出a1+a31=a14+a18=a15+a17=41,所以S31===.

答案:

7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则=　　　　. 

解析:设公差为d,则a1+4d=5(a1+2d),∴a1=-d,

∴==×=×

=-.

答案:-

能力提升

8.(2013海州高级中学高二第一学期期中检测)在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且a1=2,-=2,则数列﹛﹜的前n项和是　　　　. 

解析:设{an}的公差为d,则Sn=2n+d,

∴=2+d,∴(2+d)-(2+d)=2,

解之,得d=2,∴Sn=2n+×2=n2+n,

于是===-.

∴数列﹛﹜的前n项和

++…+=+++…+=1-=.

答案:

9.等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.

(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.

解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,

得方程组解得

所以an=2n+10.

(2)由Sn=na1+d,Sn=242,

得方程12n+×2=242,

即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).

所以n=11.

等差数列前n项和公式6篇

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