数学题解答13篇

数学题解答13篇

数学题解答(1)

10工商的同学们，《货币金融学》期末复习题 66个大题，奇葩老师用奇葩教材单独出奇葩试卷！搞了6个小时，分享去打印吧..作者： 周海磊наιιеу

我买的书是第九版的（坑爹没答案），如果题目和第七版的有出入还望指出。

以下答案出自《米什金《货币金融学》（第7版）笔记和课后习题详解》——金圣才主编的，图书馆的貌似都被借走了，所以把它打出来。还有一些题目期中考试考过，我就直接拿老师给的答案了。

1、一些经济学家认为，发展中国家经济增长迟缓的原因在于缺乏发达的金融市场。你认为这种论点是否正确？

答：正确。运转良好的金融体系或金融市场，就是有效地将资金从储蓄者融通给具有生产性投资机会的个人或企业。所以，有效的金融体系支持了经济的持续增长，特别是支持了创新性增长。

2、19世纪时，美国曾向英国大量举债用以修建铁路系统，那时使用的主要债务工具是什么？为什么这样做对两个国家都是有利的？

答：最主要的债务工具是外国债券，这种债券主要是在英国以英镑销售。英国得到好处是因为他们通过借款给美国人能得到更高的利息收入，对美国人有好处是因为他们能够通过借款来为诸如铁路等有利可图的商业活动融资。

3、对以下说法作出评论：“因为企业并没有从二级市场实际获取资金，因此二级市场对经济而言的重要性不如一级市场。”

答：这种说法错误。二级市场上的价格决定了发行证券的公司在一级市场上的发行价格。此外，二级市场使得证券更具流动性，从而使证券在一级市场上更易发行。总之，一级市场是二级市场的前提和基础，没有一级市场就没有二级市场；二级市场是一级市场存在与发展的重要条件之一，无论从流动性还是从价格的确定上，一级市场都要受到二级市场的影响。

4、如果你怀疑一家公司可能在明年破产，相比较而言，你愿意持有这家公司的股票还是债券？为什么？

答：在公司来年会倒闭的预期下，更愿意持有债券，因为债券的支付要优于股票，而持股人得到的只是最后剩余的索取权。

5、如果你是一位雇主，你会担心你的雇员有哪些道德风险问题？

答：担心在没有有效监督下，雇员们不会努力工作，增加在职消费，也可能会偷窃、舞弊等。

6、风险分担如何给金融中介和私人投资者都带来利益？

答：风险分担是指金融中介机构所设计和提供的资产品种的风险在投资者所能承受的范围之内，之后，金融中介机构将销售这些资产所获取的资金去购买风险大得多的资产。

       交易成本允许金融中介机构以较低的成本进行风险分担，使得它们能够获取风险资产的收益与已出售资产的成本之间的差额，这也是金融中介机构的利润。

       对投资者而言，风险资产被转化为安全性更高的资产，减少了其面临的风险。

7、如果问题3中的债券以3500美元出售，其到期收益率是高于还是低于10%？为什么？

答：第三题中的到期收益率少于10%。只有当利率小于10%时，所有现值的和才能达到3500美元，这样才能大于上题中的现值3000美元。（上题现值为1100/(1+10%)+1210/(1+10%)2+1331/(1+10%)3=3000美元）

8、一张20年期的息票债券，利率为10%，面值为1000美元，出售价格为2000美元。写出该债券到期收益率的计算公式。

答：2000=

9、面值为1000美元的贴现发行债券，1年后到期，售价为800美元，它的到期收益率是多少？

答：

10、如果利率下降，你更愿意持有长期债券还是短期债券？为什么？哪种债券的利率风险更大？

答：（1）如果利率下降，更愿意持有长期债券，因为利率下降会使长期债券的价格上升快于短期债券的上升，从而使得持有长期债券能获得更高的收益。

（2）长期债券的利率风险更大。

11、财务顾问弗朗辛对你提出如下建议：“长期债券的利率超过20%，更值得投资。”他说的肯定正确吗？

答：弗朗辛的建议不一定正确。假如将来利率急剧上升，则长期债券价格将急剧下跌，从而使长期债券的收益率变得很低，甚至可能为负数。

12、如果抵押贷款利率从5%上升到10%，而预期房价上涨速度从2%上升到9%。人们更愿意还是更不愿意购买住房？

答：更愿意。因为，贷款买房的成本上升了10%-5%=5%，但是，房子带来的收益上升了9%-2%=7%。即，收益方面有更大的上涨。

13、解释在下列情况下，你购买微软公司股票的意愿将如何变化？

a.你的财富减少

b.你预期股票将升值

c.债券市场的流动性加强

d.你预期黄金将升值

e.债券市场的价格波动性加大

答：（a）更弱。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与财富正相关。现在财富减少，也会相应减少该公司股票的持有量。

（b）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关。预计股票价格上升，该股票相对于其他资产的预期收益率上升，持有该股票愿望将更强。

（c）更弱。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的流动性正相关。债券市场的流动性上升，使股票的流动性对于债券下降，持有该股票愿望将变弱。

（d）更弱。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关。预计黄金会升值，事该股票的预期收益率相对于黄金下降，持有该股票愿望将减弱。

（e）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的风险负相关。债券市场价格波动变大，风险增大，使该股票相对于债券的风险下降，持有该股票的愿望增加。

14、解释在下列情况下，你购置住宅的意愿将会如何变化？

a．你刚刚继承了10万美元

b．不动产的佣金从售价的6%下降为5%

c．你预期微软公司股票将在明年升值一倍

d．股票市场的价格波动性加大

e．你预期住宅价格将会下跌

答：（a）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与财富正相关。现在得到10万元遗产，财富增加了，购房的愿望会更强。

（b）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关，也与其相对于其他资产的流动性正相关。现在房地产佣金降低了，提高了房产相对于其他资产的预期收益率和流动性，购房的愿望更强。

（c）减弱。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关。预计微软的股票价值在明年将会翻番，这意味着微软股票的预期收益率上升，这使房产的预期收益率相对于股票下降，使购房愿望减弱。

（d）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的风险负相关。股票市场波动变大，风险增大，这使房产相对于股票的风险降低，购房的愿望减弱。

（e）减弱。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关。预计房产价格下降，使房产相对于其他资产的预期收益率下降，购房的愿望减弱。

15、解释在下列情况下，你购买黄金的意愿会如何变化？

a．黄金重新作为交易媒介

b．黄金市场的价格波动性加大

c．你预期通货膨胀率将上升，黄金价格将随着一般物价水平的变动而变动

d．你预期利率会上升

答：（a）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的流动性正相关。金子作为交易媒介，使其相对于其他资产的流动性增强，购买黄金愿望更强。

（b）更弱。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的风险负相关。黄金市场价格波动变大，风险增加，这使黄金相对于股票的风险增加，购买黄金的愿望减弱。

（c）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关。通货膨胀率上升，而黄金价格会与总物价水平一起上涨，使黄金的预期收益率保持不变，其他价格未调整的资产的预期收益率下降，这使黄金相对于其他资产的预期收益率上升，购买黄金愿望更强。

（d）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关。预计利率上升，使长期债券的价格下降，预期收益率下降，使黄金相对于长期债券的预期收益率上升，购买黄金愿望更强。

16、解释在下列情况下，你投资AT&T公司发行的长期债券的意愿会如何变化？

a．这些债券的交易量上升，使得出售这些债券更为容易

b．你预期股票市场将出现熊市（即预期股票价格将下降）

c．股票的经纪人佣金降低

d．你预期利率会上升

e．债券的经纪人佣金降低

答：（a）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的流动性正相关。债券交易增多，提高了债券相对于其他资产的流动性，购买债券的愿望更强。

（b）更强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关。现在预计股票价格下跌，股票的预期收益率下降，提高了长期债券相对于其他资产的预期收益率，购买债券的愿望更强。

（c）减弱。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关，也与其相对于其他资产的流动性正相关。现在股票市场经纪人佣金下降了，提高了股票的预期收益率和流动性，降低了长期债券相对于股票的预期收益率和流动性，购买债券的愿望减弱了。

（d）减弱。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关。预计利率上升，长期债券价格将下降，其预期收益率相对于其他资产降低，购买债券的愿望减弱了。

（e）增强。根据资产需求理论，当其他因素不变时，资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关，也与其相对于其他资产的流动性正相关。现在债券市场经纪人佣金下降了，提高了债券的预期收益率和流动性，购买债券的愿望更强。

16、美联储减少货币供给的一个重要途径是向公众出售债券。运用供求理论说明该行动对利率的影响。这同运用流动性偏好理论得到的结论是否一致？

答：根据可贷资金理论，美联储向公众出售债券，就增加了债券供给，使得供给曲线Bs右移。供给曲线Bs与需求曲线Bd相交于跟高的均衡利率点上，使均衡利率上升。

  根据流动性偏好理论，货币供给减少使货币供给曲线Ms左移，均衡利率上升。根据可贷资金理论得出的答案与根据流动性偏好理论得出的答案一致。

17、运用流动性偏好理论和债券的供求理论说明，为什么利率是顺周期的（即，经济扩张时，利率上升；经济衰退时，利率下降）

答：（1）根据可贷资金理论，经济扩张阶段 债券需求曲线向右移动；经济扩张阶段 投资机会的预期收益率 债券供给曲线向右移动。可见，当经济处于扩张阶段，债券需求曲线和债券供给曲线同时向右移动，根据本章的解释，需求曲线的向右移动的幅度小于供给曲线的右移幅度，结果，均衡利率上升。同理，当经济处于衰退阶段时，债券需求曲线和债券供给曲线同时向左移动，但是需求曲线的左移幅度小于供给曲线的左移幅度，结果，均衡利率下降。因此，当经济处于经济扩张阶段时，利率上升；当经济处于衰退阶段时，均衡利率下降。这就是所谓的利率与经济周期同向变动。

（2）根据流动性偏好理论，当经济处于扩张阶段时，随着收入上升，货币需求增加。这是因为，收入增加引起财富增加，人们需要更多的货币作为价值贮藏，此外，人们出于交易目的所需的货币也会增加。货币需求增加使货币需求曲线向右移动，货币供给不变的情况下，使均衡利率提高。同理，当经济处于衰退阶段，货币需求减少，货币需求曲线向左移动，使均衡利率下降。由此可见，利率与经济周期同向变动。

18、当名义货币供给固定时，为什么物价水平（并非预期通货膨胀率）的上升会引起利率的上升？

答：当价格水平上升时，实际货币余额 减少（假设名义货币供给量不变）；为使以实际货币余额 恢复到先前的水平，人们将持有更多的名义货币量，因此货币需求曲线Md右移，利率上升。

19、利用债券的供求理论和流动性偏好理论说明，债券投资风险的加大对利率产生的影响。运用两种理论所得到的分析结果是否一致？

答：根据可贷资金理论，债券风险的增加减少了对债券的需求，需求曲线左移，均衡利率上升。

  根据流动性偏好理论，债券相对于货币的风险增大，会使货币需求增加，货币需求曲线右移，均衡利率上升。

  可见，两种理论的结论是一样的。

20、假设货币供给不变，如果下一年物价水平下降，并在之后固定下来，利率在接下来的两年会发生怎样的变化？（提示：从价格效应和通货膨胀预期效应入手）

答：一方面，物价水平效应的影响在第一年末达到最大，由于物价水平不再进一步下降，在物价水平效应的影响下，利率也不会进一步下降。另一方面，第二年的预期通货膨胀率为零，因而，预期通货膨胀效应也将为零。由于导致低利率的影响因素消失了，在第二年中，利率会在第一年末的低水平上有所上升。

21、在穆迪公司Baa级公司债券与C级公司债券中，哪种利率的风险溢价更高？为什么？

答：C级公司债券的风险溢价更高，因为其违约风险更大，导致其市场需求减少，利率会比Baa级债券高。

22、为什么美国国库券利率低于大额可转让定期存单的利率？

答：与大额可转让存单相比，美国国债的违约风险小，流动性大，因而对国债的需求较大，国债利率较低。

23、公司债券的风险溢价通常是逆经济周期的。也就是说，经济周期扩张时降低，而经济周期衰退时上升。为什么会这样？

答：在商业周期的扩张阶段，破产的公司比较少，公司债券的违约风险比较小，这使公司债券的风险溢价下降。类似的，在商业周期的萧条阶段，破产的公司会相对较多，公司债券的违约风险增加，风险溢价也相应上升。由此可见，公司债券的风险溢价是反经济周期的，在经济周期的扩张阶段下降，在经济周期的上升阶段上升。

24、假定预期理论是正确的期限结构理论，根据下列未来5年的1年期利率。计算1~5年期限结构中的利率，并绘制得出收益率曲线。

（a）5%，7%，7%，7%，7%，

（b）5%，4%，4%，4%，4%，

如果相对于长期债券，投资者更加偏好短期债券，那么收益率曲线会发生怎样的变化？

答：（a）根据期限结构的预期理论计算如下：

1年期债券的利率

2年期债券的利率

3年期债券的利率

4年期债券的利率

5年期债券的利率

收益率曲线的图自己画吧（横轴是期限，纵轴是利率）

（b）方法同上

如果人们更偏好短期债券，则（a）中向上倾斜的收益率曲线会更陡峭，因为此时长期债券的风险溢价为正值。假如长期债券的风险溢价为正值，则（b）中向下倾斜的收益率曲线将不会太陡峭，甚至可能稍向上倾斜。

25、假定预期理论是正确的期限结构理论，根据下列未来5年的1年期利率。计算1~5年期限结构中的利率，并绘制得出收益率曲线。

（a）5%，6%，7%，6%，5%，

（b）5%，4%，3%，4%，5%，

如果相对于长期债券，投资者更加偏好短期债券，那么收益率曲线会发生怎样的变化？

答：计算利率和上题一样，图自己画

如果人们更偏好短期债券，则此时长期债券的风险溢价为正值，那么，（a）中先向上倾斜后向下倾斜的收益率曲线更可能向上倾斜。（b）中先向下倾斜后向上倾斜的收益率曲线可能会向上倾斜。

26、如果收益率曲线如图6-9所示，那么市场对未来短期理利率走势的预期是怎样的？从收益率曲线中，可以看出市场对未来通货膨胀率的预期是怎么样的？（图自己在书上看吧）

答：根据流动性溢价理论，期限较短的收益率曲线比较平，表明短期利率在近期有望适当下降；而期限较长的收益率曲线较陡直，且向上倾斜，表明未来利率有望进一步上升。因为利率和通货膨胀预期同步运动，所以该收益率曲线表明：市场对通货膨胀的预期是在近期先下降后上升。

27、哪个基本的融资原则可以被应用于所有投资性资产的估值？

答：可以被应用于所有投资资产的估值的一个基本的融资原则是：任何投资的价值都可以通过计算该投资未来所带来的现金流量的现值来衡量。

28、确定投资者在股票中所能得到的现金流量。这些估计的现金流量的可靠性如何？比较预期股票现金流量与预期债券现金流量的可靠性。你认为哪种证券的波动性更大？

答：股票的现金流量包括两个部分：定期支付的股利和未来的出售价格。由于公司的盈利时而增加，时而减少，股利是经常变化的。股票的未来售价更难以预测，因为它与未来支付的股利有着密切的关系。债券的现金流量同样包括两个部分：定期支付的利息和债券到期日的偿付。这两部分是在债券发行之日就已经确定的，只要公司不违约和破产，就不会变动。由于股票的现金流量具有更强的波动性，因此，股票价格的波动性更大。

29、某股票每年每股支付1美元股利，你预期1年后的出售价格为20美元，如果你的要求回报率为15%，计算该股票的价格。

答：根据单阶段估值模型，可得股票的现价计算公式为：

代入数据计算可得，该股票的价格为：1/(1+0.15)+20/(1+0.15)=$18.26(美元)

30、假定货币供给的增加会引起股票价格的上升，这是否意味着当你发现过去的一周货币供给急剧上升时，应当立刻购买股票？为什么？

答：不对，不应该购买股票，因为货币供给增加是公众广为周知的信息，已经体现在股票价格上面。如果根据货币供给信息进行投资，只能赚到股票的平均回报率。

31、如果公众预期某公司该季度每股损失达到5美元，而事实上却是4美元，但这依然是公司历史上的最大损失。当4美元损失的消息发布后，该股票价格会发生怎样的变化？

答：该公司的股价会上升。因为根据有效市场理论，该公司的亏损被高估，则一旦此信息一公开，则理性的公众会及时利用这一信息修正自己的预期，增加对该公司的股票的需求，则该公司的股价会上升，最终使未被利用的盈利机会消失，使其股价真正反应了有关它的全部信息。

32、如果从《华尔街日报》上得知，华尔街的“精明分析师”预计股票价格会下降，我是否应当听取他们的建议，卖出所有股票呢？

答：不应该。因为这是一则公众都知道的信息，已经在股票价格上反映出来。由于对股票收益率的最优预测等于均衡收益率，所以出售股票无利可图。

33、哪类公司更可能运用贷款来融资，而非发行债券或股票？为什么？

答：小公司或不知名公司。因为普通投资者不了解这类公司的违约风险或未来收益的不确定性，由于信息不对称的存在，这类公司的债券或股票发行的难度极大或成本很高。而银行等金融中介有可能通过调查分析对这类公司的违约风险加以了解，缓解信息不对称问题，从而对其发放贷款，并要求一个合适的利率水平。银行也可以通过监督公司的经营，减缓道德风险问题，为贷款的回收提供保障。所以，这类小公司往往只能通过银行贷款的方式进行融资。

34、信息不对称的存在如何为政府对金融市场的监管提供理论基础？

答：由于信息不对称和免费搭车问题的存在，金融市场上的信息不足。因为，政府就有了通过管理金融市场增加信息的理论基础，以帮助投资者识别公司好坏，减轻逆向选择问题。政府也可以通过加强会计准则和对欺诈的惩罚来提高金融市场的运行效率，减少道德风险。

35、如果一人从第一国民银行提取1000美元现金，而另一人存入500美元现金，第一国民银行的准备金会发生怎样的变化？利用T账户来解释你的答案。

答：准备金减少500美元。第一国民银行的T型账户如下所示：

                         第一国民银行

       资产                              负债

准备金             -500美元      支票存款      -500美元

 

36、你的银行的资产负债表如下（十字架跟上面一样就好了，word画这个太烦了）

       资产                               负债

准备金          7500万美元        存款           50000万美元

贷款            52500万美元       银行资本       10000万美元

如果银行发生5000万美元的存款外流，假定法定存款准备金比率为10%，你通过什么方法来预防银行破产？

答：5000万美元存款外流意味着准备金减少了5000万美元，下降到2500万美元。由于它应当持有相当于45000万美元的10%的存款准备金，即4500万美元，银行需要再获得2000万美元的准备金。可以通过以下途径获得所需的准备金：

（1）       收回或向其他银行出售2000万美元的贷款

（2）       向中央银行借入2000万美元的贴现贷款

（3）       向其他银行或公司借款2000万美元

（4）       出售价值2000万美元的债券

（5）       同时采用上述4种方法中的多种，进行组合

37、如果发生5000万美元的存款外流，银行愿意其最初的资产负债表如问题5（上题）所示，还是愿意有下列的资产负债表？为什么？

             资产                              负债

准备金            10000万美元            存款          50000万美元

贷款              50000万美元            银行资本      10000万美元

答：在这一问题上，银行宁愿在资产负债表上体现出来，因为虽然存款外流5亿美元，但银行仍然拥有500万的超额准备金：5000万美元的准备金减4500万美元的法定准备金（即4.5亿美元存款的10%）。因此，银行不必进一步调整其资产负债表且存款外流并不增加任何成本。相反，在上题的资产负债中，该银行的准备金将减少2000万美元（2500万美元的准备金减4500万美元的法定准备金）。在这种情况下，当银行通过课文介绍的方式筹集必要的准备金时其费用将增加。

38、如果一家银行发现由于资本规模过大，导致股权回报率过低，此时它可以采取什么措施来提高股权回报率？

答：在保持资产不变时，该行可以通过支付更多的红利或者回购部分股权来降低资本金和提高ROE。此外，它可以保持资本不变，但是通过获取新的资金来增加总资产，然后利用这些资金来从事发放贷款和购买债券等活动。

39、如果银行的资本金较之准备金要求少了100万美元，银行可以做哪三件事情来解决这个问题？

答：通过发行新股可筹集100万美元的资本金，可以通过减少分红100万美元使留存收益增加100万美元，另外还可以减少所持资产的数量，使资本相对于资产的数量增加，从而达到资本充足率的要求。

40、假定你是某银行的经理，其1000亿美元资产的平均久期为4年，900亿美元负债的平均久期为6年。对该银行进行久期分析，说明如果利率上升2个百分点，银行净值的变化。你可以采取哪些措施以降低银行的利率风险？

答：资产的价值下跌80亿美元[=1000亿美元*（-2%）*4年]，负债的价值下跌108亿美元[=900亿美元*（-2%）*6年]。由于负债价值比资产价值多下降28亿美元，故银行的净值

增加28亿美元。通过将负债的久期缩短至4年或将资产的久期延长到6年，银行可以减少所面临的利率风险。另一种方法是参与利率互换，将从资产上获得的利息与久期为6年的其他银行资产的利息进行互换。

41、假定你是某银行的经理，该银行拥有1500万美元固定利率资产、3000万美元利率敏感型资产、2500万美元固定利率负债和2000万美元利率敏感型负债。对该银行进行缺口分析，说明当利率上升5个百分点时，该银行净值的变化。你可以采取哪些措施以降低银行的利率风险？

答：缺口是利率敏感型资产减去利率敏感型负债的差额。本题中的缺口是3000-2000=1000万美元。如果利率上升5%，该银行的利润将增加5%×1000=50万美元。

  可以通过把利率敏感型负债增加到3000万美元，或把利率敏感型资产减少到2000万美元来消除利率风险。此外，也可以通过参与利率互换来减少利率风险，即以1000万美元的利率敏感型资产的利率来互换其他银行的1000万美元的固定利率资产的利率。

42、为什么削弱美联储的独立性会使得政治经济周期更明显？

答：削弱美联储的独立性会使其更加短视和受制于政治的影响。因此，当在大选之前能够通过扩张性政策实现政治利益时，美联储会更可能从事这样的行为。结果，会造成更显著的经济周期。

43、“美联储的独立性使它完全不必为其行为负责。”这种观点正确、错误还是不确定？解释你的答案。

答：错。美联储仍然面临政治压力，因为国会可以通过立法限制美联储的权力。因此，假如美联储未能恪尽职守，国会可通过立法使美联储为此付出并不希望见到的代价。

44、“美联储的独立性意味着，它可以追求长期目标，而非短期目标。”这种观点正确、错误还是不确定？解释你的答案。

答：这个论断是不确定的。尽管独立性可能有助于美联储关注长期目标（因为人事并不受下次选举结果的直接影响），但是美联储仍然会受到政治压力的影响。此外，由于美联储的独立性使其不对外负责，这可能使美联储更加不负责任。美联储的独立性会使其关注长期目标，这一点并不是完全明确的。

45、美联储不向国会或公众立即公布联邦公开市场委员会的会议纪要，以维持其保密性。讨论这一政策的利弊。

答：主张不立即公布联邦公开市场委员会指令的人认为，这样做使得美联储得以实施不受通货膨胀和政治经济周期影响的、独立的货币政策；而主张立即公布联邦公开市场委员会指令的人的理由是，这将使美联储负有更大的责任。

46、如果美联储出售200万美元的债券给第一国民银行，准备金和基础货币会怎样变化？运用T账户解释你的答案。

答：存款准备金和基础货币都减少200万美元，如下列T型账户所示：

                        第一国民银行（自备十字架）

           资产                                                              负债

存款准备金            -200万美元

证券                  +200万美元

 

                        联邦储备体系

         资产                                       负债

证券              -200万美元               存款准备金        -200美元

47、如果美联储将200万美元债券卖给投资者艾尔文，艾尔文用足额现金来支付，准备金和基础货币会怎样变化？运用T账户解释你的答案。

答：准备金不变，但基础货币减少了200万美元，如下面T型账户所示：

                         投资者艾尔文

              资产                                         负债

货币                 -200万美元

证券                 +200万美元

                          联邦储备体系

                资产                                负债

     证券             -200万美元           货币             -200万美元

48、如果美联储向5家银行发放总额为1亿美元的贷款，而储户从这5家银行共提出5000万美元存款，并以现金形式持有，准备金和基础货币会如何变化？用T型账户解释你的答案。

答：准备金增加5000万美元，但是基础货币增加1亿美元，如下面5家银行和美联储的T型账户所示：

5家银行

            资产                                  负债

准备金           +5000万美元             贴现贷款         +10000万美元

                                                       存款             -5000万美元

 

联邦储备体系

           资产                                                 负债、

  贴现贷款           +10000万美元             准备金         +5000万美元

                                                                 货币           +5000万美元

49、第一国民银行的准备金增加了100美元，但决定不贷放出去。整个银行体系创造了多少存款？

答：真个银行体系的存款创造没有发生任何变化。这是因为额外的存款准备金没有贷出，也就没有参与存款创造。

 

如果没有特别说明，下列各题都假定：支票存款的法定准备金率为10%，银行不持有任何超额准备金，公众持有的现金不变（50~54）

50、运用T账户说明，如果美联储向第一国民银行发放100万美元贷款，银行体系的支票存款所发生的变化。

答：T型账户与课文“存款创造：单个银行”和“存款创造：银行体系”中的T型账户相同，只是每一科目的数额乘上10000（即100美元变成100万美元），净结果为支票存款增加了1000万美元。

51、运用T账户说明，如果美联储向第一国民银行出售100万美元债券，银行体系支票存款所发生的变化。

答：联储向第一国民银行销售债券使存款准备金减少了200万美元。T型账户与课文中“多倍存款收缩”中的T型账户相同，只是每一科目的数额乘上20000（即把100美元变为200万美元），净结果是支票存款减少了2000万美元。

52、假定美联储向第一国民银行购买100万美元的债券。如果第一国民银行以及其他所有银行将增加的准备金全部用于购买证券，而不发放贷款，支票存款会发生怎样的变化？

答：美联储购买100万美元的债券，使银行系统的准备金增加了100万美元，支票存款增加的总额为1000万美元。再多倍存款创造过程中，银行用由此增加的准备金购买的债券而非发放贷款不会对多倍存款创造过程产生任何影响。

53、如果一家银行决定持有100万美元超额存款准备金，这对银行体系的支票存款有什么影响？

答：由于银行持有100万美元的超额存款准备金，所以必然会减少其贷款发放额或证券持有量，从而开始多倍收缩过程。因为法定准备金率为10%，故支票存款必然减少1000万（=100万/10%）美元

54、如果某银行向美联储出售1000万美元的债券，已归还所欠的1000万美元贴现贷款，这对支票存款有何影响？

答：没有影响，美联储的贴现贷款减少了1000万美元，持有的债券增加了1000万美元，存款准备金水平没有发生变化，因此支票存款也不改变。

55、大部分公开市场操作时回购协议这能够告诉我们，与能动性公开市场操作相比，防御性公开市场操作的规模如何？

答：这表明防御性公开市场操作远较能动性公开市场操作普遍，因为回购协议主要用于抵消基础货币临时变动的防御性公开市场操作。

56、“美联储能够影响贴现贷款的惟一途径是调整贴现率。”这种表述正确、错误还是不确定？解释你答案。

答：这种说法是错误的。美联储可以通过直接限制每家银行可以利用的贴现贷款数量来对影响贴现贷款水平。

57、利用准备金市场的供求分析，说明在其他变量不变的情况下，如果经济出乎意料地强劲，导致支票存款扩张，联邦基金利率所出现的变化。

答：在任何利率水平下，支票存款增加都会导致法定准备金增加，从而推动需求曲线向右移动。如果联邦基金利率起初低于贴现率，这会导致联邦基金利率上升。如果联邦基金利率起初等于贴现率，那么联邦基金利率仍然会保持与贴现率一致。

58、如果将存款转换为现金，联邦基金利率会发生怎样的变化？利用准备金市场的供求分析来解释你的答案。

答：存款转换为现金，减少了银行的储备金，从而减少了在每一利率下的储备金的供给，使得储备金的供给曲线左移。存款的下降还将导致要求的储备金的减少，这将导致储备金的需求曲线左移。但是储备金的供给减少大于需求减少的幅度，因此，储备金市场上的贴现率将高于联邦基金目标水平，从而联邦基金利率将提高。但是，如果联邦基金利率等于贴现率时，联邦基金利率将维持在贴现率水平不变。

59、“法定准备金率的取消会加大控制利率的难度。”这种说法正确、错误还是不确定？

答：错误。在利率制定的通道/走廊体系方法的分析中，中央银行仍然能够通过常备信贷便利来控制利率，在中央银行准备金存款利率与中央银行贷款利率之间的利差会非常小。

60、“如果将法定准备金率提高到100%，就能对货币供给实施完全的控制。国会应当允许美联储这样做。”评述这个观点。

答：这一建议的一个问题是它能够完全控制官方口径的货币供给，但是会减弱对与经济相关的货币供给的控制。另外一个问题是它会导致高昂的金融体系重组成本，因为这会迫使银行退出贷款行业。

61、按照灵活性、对冲能力、有效性和实施速度几个标准，比较公开市场操作、贴现政策和变动法定准备金率在实施货币政策方面的作用。

答：公开市场操作较其他两种工具更为灵活，更易于转变方向，贯彻起来也更快。贴现政策较法定准备金率更加灵活，更易于转变方向，贯彻起来也更快，但有效性小于其他两种工具。

62、对于货币政策实施来说，使用名义锚的好处是什么？

答：名义锚通过直接控制本国货币的价值，把通货膨胀预期限制在低水平上，以此来促进物价稳定。他通过对自由放任的政策提供预先的约束，有助于避免时间非一致性问题。

63、中央银行出于什么动机，会作出时间一致性的行为？（第七版）

中央银行出于什么动机，会实施过分扩张的货币政策，从而陷入时间不一致性陷阱（第九版）

答：中央银行可能会想通过扩张性货币政策，提高产出，降低失业率，尽管在长期中，这只会导致通货膨胀上升，而产出和失业却没有改善。政治压力可能要求中央银行推行过分扩张的货币政策。

64、计算当货币流通速度为常量5且货币供给从2000亿美元增至3000亿美元时名义GDP发生的变化。

答：根据交易方程式MV=PY可得：

当V=5，M=2000亿美元时，名义GDP=MV=10000亿美元=1万亿美元

当V=5，M=3000亿美元时，名义GDP=MV=15000亿美元=1.5万亿美元

所以，名义GDP会从1万亿美元增加到1.5万亿美元

65、当货币供给增长率按20%的速度增长且货币流通速度下降30%时，名义GDP将发生什么变化？

答：根据交易方程式：MV=PY可得： 。所以，当货币供给增长率按20%的速度增长且货币流通速度下降30%时， ， 。因此，名义GDP大约下降了10%。

66、如果货币周转率和总产出都相当稳定（正如古典经济学家认为的那样），那么当货币供给从1万亿美元增加到4万亿美元时价格水平会出现什么变化？

答：根据交易方程式，MV=PY，在货币周转率（V）和总产出（Y）都保持不变的情况下，价格水平和货币供给成正比关系，货币供给的变化，将会引起价格水平的相同比列的变化。因此，当货币供给从1万亿美元增加到4万亿美元时，货币供给变为原来的4倍，则价格水平

数学题解答(2)

数学题解答(3)

数学高考与高考解题

罗增儒（1945—），男，广东惠州人，1962年就读中山大学，毕业后长期当矿山职工和子弟学校教师．现为陕西师范大学数学系教授，课程与教学论（数学）博士生导师，享受国务院的政府特殊津贴，著有《数学解题学引论》、《数学竞赛导论》、《中学数学课例分析》、《怎样解答高考数学题》、《怎样解答中考数学题》、《数学的领悟》、《直觉探索方法》、《零距离数学交流》、《中学数学解题的理论与实践》等书300万字，发表文章300多篇．从1980年开始，几十年如一日研究高考、竞赛的解题与命题，项目《着眼数学素质 服务基础教育——数学高考解题理论的建设》曾获省级优秀教学成果奖，项目《奥林匹克数学学科建设》曾获国家级优秀教学成果奖．

0 数学高考

0.1 数学高考的全程工作

从1977年恢复高考，历史走过了波澜壮阔的30多个春秋，环绕着高考工作的文化积累正在考试学、人才学和数学等维度形成学术成果．我期待着数学高考学的诞生．数学高考的全程工作有4个基本问题:

（1）掌握数学知识问题 —— 怎样复习．（教育学）

（2）提高解题能力问题 —— 怎样解题．（数学）

（3）运用考试技术问题 —— 怎样答题．（考试学）

（4）科学填报志愿问题 —— 怎样选择．（运筹学）

其中，最核心的是解题，搞好复习是为解题积聚力量，运用考试技术是为解题作充分的发挥，分段得分技术是解题策略的运用．解题能力是数学高考的核心竞争力．

0.2 数学高考命题的风格

高考命题一直在“稳中求进，稳中求变、稳中求新”，探索 公平选拔、为素质教育服务的道路，已形成了一些稳定性的风格和值得注意的导向.

（1）在全面考查“基础知识、基本技能、基本方法”的基础上，更突出数学思想方法的考查，突出数学与现实生活的联系.

全面覆盖了中学数学教材中的理科15个、文科13个知识模块，知识点的覆盖面达60%（约涉及70～80个知识点）；同时，试卷突出学科的核心内容，集合与函数、立体几何、解析几何、数列、不等式、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，整体结构合理，也达到了必要的考查深度；此外，在模块单一型试题为主体的基础上还会进行知识之间的交叉、渗透和综合．

试卷在全面覆盖基础知识的同时，会注重能力的考查，特别是逻辑思维能力，运算能力和空间想象能力．至于实践能力和创新意识方面则是努力体现．（五个能力）

在数学思想方法方面，七个基本数学思想在试卷中都会涉及，其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法会体现得较为突出．中学阶段基本数学思想方法主要“有用字母表示数的基本思想方法”，“集合与对应的基本思想方法”，以及

●函数与方程的基本数学思想．（通过函数题，综合题）

●数形结合的基本数学思想．（通过函数题，解析几何综合题，构造图形等）

●分类与整合的基本数学思想．（通过综合题，排列组合题，参数讨论题）

●化归与转化的基本数学思想．（通过综合题）

●特殊与一般的基本数学思想．（通过综合题）

●有限与无限的基本数学思想．（通过极限、微积分函数题）

●或然与必然的基本数学思想．（通过概率、统计题）

主要解题方法（待定系数法、换元法、配方法、反证法、代入法、消元法、数学归纳法）会有不同程度的体现．

（2）在主体上考查中学数学的同时，会体现进一步学习高等数学的需要.特别是一些有挑战性的压轴题，尤其各省独立命题之后，更是“注重理论数学，检测考生后继学习的潜能”（有人看到了高考与竞赛的相互渗透）.

（3）新课程理念的渗透.虽然新世纪课程改革刚刚起步（高中教材才开始试用），但其三维目标和十个基本理念会开始渗透（课程改革改到哪里，高考改革也改到哪里）.如，命题范围拓展了，出现人文关怀，体现“情感、态度、价值观”课程目标.

（4）在命题技术上，可以看到：

以教材为依据，又不拘泥于教材.

在知识交汇处设计命题.

能力立意.改变了过去的知识立意.

减少题量，降低难度，增加学生分析思考的时间.

对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮.

变小量难题把关为全卷把关.

试题切入容易深入难（阶梯题）.

避免死记硬背的内容和繁琐的运算（试卷提供难记易忘的公式）.

文理分卷，难度有区别（姐妹题）.

0.3 数学高考复习的组织工作

（1）指导思想

（2）高考复课的阶段安排

（3）数学复习题的编拟

（4）数学模拟考试的组织与讲评

（5）数学高考临场的策略

0.4 数学高考的研究工作

（1）高考数学的特征

（2）数学高考解题的特点

（3）数学高考选择题的求解

（4）数学高考填空题的求解

（5）数学高考解答题的求解

（6）数学高考解题的错误分析（解对了也会有策略性错误）

（7）高考数学命题的研究

（8）数学高考试卷的构成

（9）数学高考的题型

（10）数学高考设问的研究

（11）数学高考难度的研究

（12）数学高考赋分的研究

（13）……

0.5 高考临场的基本建议

（1）保持内紧外松的临战状态.

（2）使用适应高考的答题策略.

（3）运用应对选拔的考试技术.

高考答题的技术

●提前进入角色.

●迅速摸清“题情”.

●执行“三个循环”.

●做到“四先四后”.

●答题“一慢一快”.

●立足中下题目，力争高上水平.

●立足一次成功，重视复查环节.

●内紧外松.

0.6高考填报志愿.

●升学优先.

●就业优先.

●专业优先.

●成本优先.

●地区优先.

●几项兼顾.

●家长决定.

1 解答高考数学题的必要基础

1-1 明确解题过程

1-1-1 数学解题的一般程序 （波利亚：《怎样解题》）

⑴弄清题意

主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?

例1 已知三个方程

中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围．

解法1 若正面求解，三个方程至少有一个方程有实根，将出现7种可能，情况复杂，但其反面则只有一种情况：三个方程都没有实根，问题变得极为简单．有

即

得 ．

再求补集，得三个方程至少有一个方程有实根时实数的取值范围为

．

评析 这个解法思路是可行的，答案是正确的，但由“7种可能，情况复杂”，得出“正面求解，情况复杂”却是认识的封闭和逻辑的混乱．“三个方程至少有一个方程有实根时实数的取值范围”就是三个集合

的并集，其求解并不比解法1复杂．

解法2 “三个方程至少有一个方程有实根”就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根，得

①

或 ②

或 ③

求①、②、③的并集，可得三个方程至少有一个方程有实根时实数的取值范围为．

评析 由上面的两个解法可以看到

（1）问题表征影响解题方向与解题长度．将“三个方程至少有一个方程有实根”表征为7种可能：某个方程有实根3种可能、某两个方程有实根3种可能、三个方程都有实根1种可能，接下来还有7种情况的合并，书写量确实较大；解法1只看到这一思路“情况复杂”，没有看透复杂的原因，其提出的“反面求解”思路虽然可行，但未必就比“正面求解”的解法2平坦；所以，我们从这三个思路中看到了问题表征对解题方向与解题长度的影响．

（2）知识影响解题．其实，由集合运算的性质知，解法1与解法2是等价的，解法1的作者要是调动起了这一知识，就不至于对“正面求解”一概得出消极的结论．

（3）反思有助于理解． 如果对列举“7种可能”的思路作反思就会看到，这种先分后合的步骤，其实已使得后4种情况的书写成为简单重复或多余回路；同样，如果对解法1作反思，也有机会发现“反面求解”其实有“正面求解”的等价思路．

例2 满足条件的所有集合的个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

审题：是的子集，，得

（1）正面：中含有3的子集个数.

（2）反面：中不含3的子集个数.

⑵拟定计划

探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：

●努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)；

●如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略，并进行资源的提取与分配，基础是“过去的经验和已有的知识”．

⑶实现计划，

是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置．

⑷回顾

“回顾”是最容易被忽视的阶段．波利亚解题表中的“回顾”并不完全是常规解题中的“检验”（正确性的保证，解题的必要步骤），主要是有分析地领会所得的解法，它包含着把“问题及其解法”(认知)作为对象进行自觉反思的元认知意图．

●在内容上，弄清用到了哪些知识？哪些方法？

●在组织上，弄清先用 哪些知识（方法）？后用 哪些知识（方法）？哪个与哪个作了配合？组成一个怎样的逻辑结构？（临场可能就来不及回顾了）

1-1-2 数学解题的信息过程

（1）有用捕捉．即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?捕捉有用的符号信息和形象信息．知识经验是有用捕捉的基础．

（2）有关提取．即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法．良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础．

（3）有效组合．将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础．其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌．

图1

例3 [1993.（23）]设4x-2x+1(x≥0)，则= .①

解说 从题目中可得两个信息：

（1）是表达式；

（2）是反函数的自变量的取值为0.

从记忆储存中提取函数与反函数的关系作为解题的依据：

， ①

得 .

再从“原课本P60例1”的回忆中，得出指数方程的解

， ②

再一次应用函数与反函数的关系：

. ③

解题的信息过程如下图，有5条信息组成的一个和谐的逻辑结构：

图2

请注意,其中的条件保证了反函数的存在性,否则在R上没有反函数．

1-1-3 数学解题的心理机制

解题的心理过程是在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些知识点，然后沿接线向外扩散，依次激活新的有关知识，同时，要对被激活的知识进行筛选、组织、评价、再认识和转换，使之协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑演绎关系．（扩散——激活）

图3

1-2 夯实解题基础

冒着过于简单化的风险，解题可以理解为“把知识内容连接成一个逻辑链条”，因此，解题首先要有知识基础和组织知识内容的思维能力，同时在调动和配置知识内容时还需要经验与良好的心理．所以，尽管解题的成功取决于我们尚未彻底弄清的多种因素，但最基本的应有：解题的知识因素，解题的能力因素，解题的经验因素和解题的情感因素，这也就是我们常说的解题基本功．

值得注意的是，解题不仅是知识的使用而且也是知识的理解，不仅是能力的运用而且也是能力的培养，不仅是经验的呈现而且也是经验的积累，不仅是情感的表现而且也是情感的养成．一句话，解题不仅仅是基本功的简单体现，而且更是基本功的继续学习（庸者重在输出，智者重在输入），同样是“天天画蛋”，有的人“熟而生厌”、“熟而生笨”，而达芬奇却画出个国际大师．

1-2-1解题的知识因素（认知结构）

人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借．丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件．既然，解题就是把知识内容连接成一个逻辑链条，那么，没有知识内容那来的知识逻辑链！

解题研究的一代宗师波利亚说过：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”．每一个希望提高解题效率、获得解题成功的人，都必须下决心，在“知识丰富”与“结构良好”两方面花大力气，所以我们建议在第一阶段复习要做到“四过关”：

●能准确理解书中的任一概念；

●能独立证明书中的每一定理；

●能熟练求解书中的所有例题；

●能历数书中各单元的作业类型.

测试（形成良好的认知结构，思维路线图）

例4-1 闭上眼睛，你能回忆几条数学定理，说出几个数学名词？越多越好！

例4-2 当我说“函数”时，你能想起相关的多少个概念和定理？越多越好！

例4-3 说出一条会证的定理。

例4-4 说出一道会做的题目。

对于学好数学来说，记住知识还不是最难的（连记都不想记谈不上学好），还要通过解题去深入理解、疏通联系、优化结构．所以，有人说：数学不是教会的，而是学会或做会的．

1-2-2解题的能力因素（思维能力）

思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映．数学解题中既有逻辑思维又有非逻辑思维，其主要成分是3种基本的数学能力：

●运算能力

●逻辑思维能力

●空间想象能力。

核心是能否掌握正确的思维方法，并表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞察力与整体把握．其基本要求包括：

（1）掌握数学中各种常用的思维方法．（如观察、试验、归纳、演绎、类比、猜想、分析、综合、抽象、概括等）

（2）掌握科学的解题程序．（如弄清题意、拟定计划、执行计划、回顾）

（3）掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题思路，使用有效的解题方法、调动精明的解题技巧．

（4）具有敏锐的直觉．应该明白，我们的数学解题活动是在纵横交错的数学关系中进行的，在这个过程中，我们从一种可能性过渡到另一种可能性时，并非对每一个数学细节都洞察无遗，并非总能借助于“三段论”的桥梁，而是在短时间内朦胧地插上幻想的翅膀、直接飞翔到最近的可能性上，从而达到对某种数学对象的本质领悟．

例5 方程未知数范围扩大是方程产生增根的（ ）．

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）既不充分也不必要条件 （D）充分必要条件

讲解 这道题目不考具体的解方程知识，而是以方程为载体考思维能力，包括构造反例的能力．据2008年9月高一学生64人的测试，四个选项都有人选，比例最大的是（B）必要而不充分条件：

事实上，对方程平方，方程未知数范围扩大但没有增根．方程未知数范围扩大不是方程产生增根的充分条件．两边乘以，方程未知数范围没有扩大，但方程产生增根．方程未知数范围扩大不是方程产生增根的必要条件．所以，正确答案应选（C），但正确率只有0．29．而选（B）则是学生中的倾向性错觉．这种错觉有的来自学生自身，有的来自教师的影响．　

1-2-3 解题的经验因素（经验题感）

解题具有实践性与探索性的特征，基础知识要通过解题实践来消化，思维素质要通过解题实践来优化，解题方法要通过解题实践来强化．在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长久保留价值或借鉴作用的经验．

　　（1）解题经验

所谓解题经验，就是某些数学知识、某些解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也向我们从反面提供有效的有序组合．成功经验所获得的有序组合，就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上（模式识别）．一个人解题所做的脑力工作就在于回忆起经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．

弗里德曼在《怎样学会解数学题》（）中认为“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型．”这就需要平时积累经验与类型．怎么积累呢？弗里德曼在“致读者”中分析学生解了大量的题但还“不开窍”时指出：“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案”．这就指出了一个途径：通过解题过程的分析来积累经验与类型．

波利亚也说：“如果你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征”（《数学的发现》序言）．解题中，“一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识．”（《怎样解题》）

（２）题感

解题经验的积累，有利于解题念头的诱发，有助于直觉性题感的形成．题感指的是人们对问题的总体性的感受，它是思维定势正迁移的一种潜在表现，实质是一种数学观念、数学意识，常体现为解题中的整体把握和成功思路的预感、预测与预见．如像学外语的“语感”，学音乐的“乐感”．

解题经验就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上（模式识别）．解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．

经验题感的一个重要构成是美感，熟谙数学美，就能以美启真、以美寻真，能够从题意中领悟到审美感受，从而随之产生解题的意向．

（3）经验积累的基本途径

中学生的解题积累，基本上就是课本上的学习积累，因此，对课本学习内容进行总结归类是积累经验的一个基本途径；分析解题过程是又一个积累经验的重要途径．

小经验1：总结每一章的作业，弄清一共有几个主要类型，每一类型各有几种解决的方法．

　　小经验2：分析解题过程，揭示问题的深层结构.

例6 如果，则.

分析1 由.

记问题转化为

.，只需的严格单调.

“的严格单调”问题的深层结构.

分析2 由，有

记，问题转化为.

只需的严格单调

证明1 由，有

，

，

相减 2.

评析 实质是证的单调性，用了两次，我们用差异分析法，只需消去，代替变形过程.

证明2 由，有

，

，

相减 2.

1-2-4 解题的非智力因素（情感态度）

这里主要是指良好的心理素质，如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等．这些非智力因素对于解题的作用，与它对于发明发现的作用是一样的．华罗庚教授说：“聪明在于学习、天才在于积累．”1995年5月，在中国数学会60周年年会上，笔者请国际数学大师陈省身教授谈学数学的体会，大师胸有成竹地说：首先是用功，不用功什么也谈不上．我们说，学生学习数学只有通过自身的情感体验，树立坚定的信心，才能是成功的．

波利亚也说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要．”他强调说：“教学生解题是意志的教育．当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴．如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了．”（《怎样解题》）

笔者在引述波利亚的这段话时常常补充说：如果同学们在我的课程中，不能尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么，你们最好劝我去干点别的营生，别在这里误人子弟了．良好的心理素质：动机、兴趣、态度、品德、意志等.

例7 已知为互不相等的实数，且，求．

讲解 这是一个典型的题目，1951年时曾做过高考题，由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　？ ②

所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理．我的老师当学生的时候人们这样说，到了我的学生也当老师的时候，人们还是这样说．设比例系数是一个经典的处理，并被认为是最关键的步骤：

解法1 设， ③

则有　　 ④

得　　 ⑤

⑥

． ⑦

反思分析 分析这个解题过程我们看到三个步骤（解题过程的结构分析）：

第1步，引进参数，把三个外形不同而比值相等的代数式用同一个符号来表示，可以有效防止“形异”对“值同”的干扰．

第2步，把与分离，以便于计算的值．

第3步，计算的值，这是实质性的运算，其最基本的想法是转化为有关式的计算，关键步骤是第⑤式．

根据这个分析，设比例系数的作用有两个：第一，有效防止“形异”对“值同”的干扰；第二，把与分离以便于计算的值．但这都只是辅助步骤，前两步并未开始的求和，抓住实质性的第3步提出问题：

（1）（正面思考）有与功能类似的替代式吗？

（2）（反面思考）不用还能计算吗？

回应1 如果对等值看得很清楚，那就可以把第③式直接代入⑤，取代得

解法2 ⑧

回应2 如果⑧式中的“形异”对“值同”的干扰还比较大，想不到作这样的变形，看不清当中的公因式．那可以直接用来表示，有

解法3 由已知有，

，

相加得　　　

　　　　　　　

这样，我们就有了不增设参数的２个解法，只要作解题反思，人人都能做到．但是，反思还没有结束．

反思再深入 至少还可以再指出两点：结论也是已知信息，障碍也是隐含条件．

（1）结论也是已知信息．

我们还浪费了一个信息，就是当我们分析解题过程时，结论已经成为了已知信息：

　　 ， ⑨

即 ． ⑩

这就如同摸索在黑房子里拉开了电灯，原来我们只须证⑩式（当初并不知道），这用等比定理是可以做到的．

解法4 对已知式的前两项用等比定理，有

，

即 ，

得 ，

得 ．

原来，在我们的心里有一个误区（涉及解题的情感态度），对三项连比式用等比定理时，会产生分母为零，就吓得两项都不敢用等比定理了．我们说，用比例的性质来处理比例问题，更接近问题的本质（也使得设比值成为多余）．

（2）障碍也是隐含条件．

让我们再来看①、②中用等比定理时产生分母为0的问题

　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　？ ②

这时候的“分母为０”构成了我们解题的一个障碍，但在上述的所有解法中又都用到了“分母为０”

　　　　，　　　　　　　　　　　　　　

所以，与其说②式给我们带来了麻烦，不如说②式显化了题目的一个隐含条件式．这是一个积极的收获，当我们对尚未成功的②式“视而不见”、而把目光同时注视①、式时，①式让我们看到了两条直线重合：

　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　，

而式告诉我们直线通过点，因而直线也通过点，得

．（可记为解法5）

1-3 防止解题错误

有一种简单化的认识，以为错误都是知识不过关造成的，其实，解题错误的类型不只一个，在知识过关的情况下也会出现差错．既然成功的解题有知识因素，能力因素，经验因素和情感因素，那么不成功或失败的解题也会与这些因素相关，我们总结为：知识性错误，逻辑性错误，策略性错误，心理性错误．

13.1 知识性错误

知识性错误主要指由于数学知识上的缺陷所造成的错误．如误解题意、概念不清、记错法则、用错定理，不顾范围使用方法等．核心是所涉及的内容是否符合数学事实．

例8 能与数轴上的点构成一 一对应的数集是（ ）．（单项选择题）

(A)整数集　　　(B) 有理数集　 (C) 无理数集 (D) 实数集

解 因为实数与数轴上的点构成一 一对应，所以选（D）．

评析 这正是命题者的预设答案，但是命题者忘了，无理数集与实数集之间存在一 一对应关系，这是无穷集合的特性：本身可以与其真子集一 一对应（尽管中学生不太清楚这一点），所以，无理数集也能与数轴上的点构成一 一对应，选择(C)，(D)都成立．这样一来，题目又与单项选择题“有且只有一项正确”矛盾．在这里既有错解又有错题，既有知识缺陷又有逻辑矛盾，但最根本的还是知识问题，由知识性错误导致命题的逻辑性错误．

1.3.2 逻辑性错误

逻辑性错误主要指由于违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误．如虚假论据，不能推出，偷换概念，循环论证等，常常表现为四种命题的混淆，充要条件的错乱，反证法反设不真等．核心是所进行的推理论证是否符合逻辑规则．

知识性错误与逻辑性错误既有联系又有区别．

(1) 知识性错误与逻辑性错误有联系．

由于数学知识与逻辑规则常常是相依共存的，从广义上说，我们也不能把逻辑知识排除在数学知识之外，所以，逻辑性错误与知识性错误常是同时存在的，从哪个角度进行分析取决于比重的大小与教学的需要．在上面的例子中我们已经看到，当我们说它有知识性错误时并不排除它也有逻辑性错误；同样，当我们说它有逻辑性错误时也不排除它还有知识性错误．

(2)知识性错误与逻辑性错误又有区别．

知识性错误主要指涉及的命题是否符合事实(是否符合定义、法则、定理等)，核心是命题的真假性；逻辑性错误主要指所进行的推理论证是否符合逻辑规则，核心是推理论证的有效性．虽然，数学命题的事实真假性与推理论证的逻辑有效性是有联系的，但是数学毕竟不是逻辑，数学毕竟比逻辑大得多，我们依然应该在知识盲点的基本位置和主要趋势上区分知识性错误与逻辑性错误．

例9 在四边形中，大于其余三边，小于其余三边，

则的关系为（ ）．

（A） （B）

（C） （D）不能确定

解法1 如图4，联结，在的同侧作，则，，，且是四边形中的最短边，是四边形中的最短边．连，在中，由为四边形的最长边，有

． ① 图4

在中，由为四边形的最短边，有

． ②

①+②得 ．选（A）．

评析 对照图4，反复检查也找不到任何知识上的问题，但是，这个解法默认了四边形为凸四边形，因而①、②式相加，得出小于．若为凹四边形（如图5），便会出现①、②式相减，得与无法确定大小．

解法2 如图6，取一个平行四边形，使为等腰直角三角形，作的外接圆，以为圆心、以为半径，画弧交延长线于，连交于，交于 图5

，又在线段内取点，连，则在四边形中，大于其余三边，小于其余三边，有

，

，

，选（D）．

评析 解法1“默认四边形为凸四边形”，得出了一个假命题，有知识性错误，对四边形分类不全又有逻辑性错误，而“默认”本身还可能有心理原因，但从错误的基本位置上看，主要还是对四边形分类不全造成的，所找出的反例主要是考虑了四边形的多种情况． 图6

1．3.3 策略性错误

这主要指由于解题方向上的偏差，造成思维受阻或解题长度过大．对于考试而言，即使做对了，若费时费事，也会造成潜在丢份或隐含失分，存在策略性错误．在解题探求中，思维受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索阶段的策略性错误是很难完全消除的．

例10 sin15osin75o的值是_____．

（1992年数学高考全国卷理科第（20）题）

思路1 本来题目很简单，也有课本的现成背景，用一次诱导公式、一次倍角公式、一次特殊角的函数值，一共3个知识点便可得出答案

原式（诱导公式）

（倍角公式）

．（特殊角的函数值）

填．但是，有的考生却用了如下解法：

思路2 原式

．

至此，就再也算不下去了，应该说，解法的每一步运算都没有知识性错误，但从整体上看，有解题方向调控上的策略性错误．

第一，使用的基础知识过多、书写的解题长度过大，会导致考试的“潜在丢分”或“隐含失分”．

第二，根式运算还要继续化简为最终结果：证明，这是一种典型的“会而不对、对而不全”．

1．3.4 心理性错误

这主要指解题主体虽然具备了解决问题的必要知识与技能，但由于某些心理原因而产生的解题错误．如顺序心理、滞留心理、潜在假设，以及看错题、抄错题、书写丢三落四等．

例11 设，求+

．

（1985年高考数学理科第⑷题）

讲解 将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析

，

可见，已知中的每一项都有字母，结论中的每一项都没有字母．“没有字母”是什么意思？可以理解为每一项的字母都等于1：（消除差异），把代人已知式，得

．

说明 在差异分析观点之下，取值就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施．并且，这一经验积累，又与“特殊化”的策略思想相通，可以用来处理很多数学问题，比如下面几道类似而又有变通的高考题（化归为往年的高考题）：

例11-1 已知，那么．

（1989年高考数学第（16）题）

解 设，则

填．

说明 我们在阅卷中发现，相当一部分考生令得答案为，其实得到的是

，

而所求的值，应再减去，从而

．

究其原因，是考生一见题型很熟悉（如课本相关习题中见过），没有认真看清题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对”．

例2-19-2 若，则

的值为（ ）

（A）1 （B） （C）0 （D）2

（1999年高考数学理科第（8）题）

解法1 设，则

．选（A）．

解法2

=

至此，就再也算不下去了，应该说，解法的每一步运算都没有知识性错误，但从整体上看，有解题方向调控上的策略性错误．

1.3. 5 突破一个“老大难”

高考阅卷启示我们，许多中上水平考生常在“会而不对、对而不全”上拉开录取与落榜的距离.这是一个“老大难”问题.

（1）会而不对.有的考生，拿到题目不是束手无策，而是在正确的思路上，或考虑不周、或推理不严、或书写不准，最后答案是错的，这叫“会而不对”．

（2）对而不全．另一些考生，思路大体正确，最终结论也出来了，但丢三落四，或缺欠重大步骤，中间某一逻辑点过不去；或遗漏某一特殊情况、讨论不够完备；或潜在假设、或以偏概全，这叫“对而不全”．

1-4 运用答题策略

1-4-1分段得分的基本认识.

（1）分段得分的法定依据是高考“分段评分”.

（2）分段得分的基本内容是防止“分段扣分”，争取“分段给分”.

（3）分段得分的技术基础是解题策略.

（4）分段得分的总体功能是：进可全题解决，退可分段得分.

1-4-2 分段得分的主要技术

（1）分解分步 —— 缺步解答.

（2）引理思想 —— 跳步解答.

（3）以退求进 —— 退步解答.

（4）正难则反 —— 倒步解答.

（5）扫清外围 —— 辅助解答.

2 解答高考数学题的主要建议

高考题的特殊性：一道数学题成为高考题后，将具有不同于平时作业题的特性，如

●能力的代表性，

●分数的选拔性，

●时间的限定性，

●评分的阶段性.

需要我们迅速解决两个基本问题：

●从何处下手？

●向何方前进？

2-1 模式识别

2-1-1模式识别的认识

(1)基本含义.

在学习数学的过程中，所积累的知识和经验经过加工会得出一些有长久保存价值或基本重要性的典型模式与重要类型.当我们遇到一个新问题时，首先辨认它属于我们已经掌握的哪个基本模式，然后检索出相应的解题方法来解决，这是我们在数学解题中的基本思考，也是解高考题的重要策略.

（2）怎样积累模式.

●总结课本内容，归纳基本模式．

学完一章节（或跨章节）后，总结一共有几个题目类型，每个题型有哪些解决方法？

●分析解题过程，提炼深层结构．

可以重点分析最近三五年的高考综合题，揭示“形异而质同”的深层结构．

(3)模式识别在求解高考题中的具体化：

●化归为课本已解决过的问题.

●化归为往届高考题.

拿到一道高考题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了.

(4)模式识别的层次.

●直接用，

●转化用，

●分解组合用.

(5)模式识别解高考题的有效性

●因为课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导．

离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？高考解题一定要抓住“课本”这个根本．

●课本是高考命题的基本依据．

有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题．

有的试题是课本概念、例题、习题的改编．

有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓．

少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求．

按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的．

●这是一种行之有效解题策略．

这种做法体现了化归思想和模式识别的解题策略，对50%～80%的高考题都是有效的．所以，拿到一道高考题，在理解题意后，应立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了．就是说，从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进．

2-2 差异分析

(1)基本含义.

如果我们把题目的条件与结论之间的差异称为目标差，那么解题的实质就在于设计一个使目标不断减少的过程.通过寻找目标差，不断减少目标差而完成解题的思考方法，叫做差异分析法.

(2)差异分析法的使用.

通过题目中出现的元素，元素间所进行的运算，以及元素之间所存在的关系去找出差异.

对于所找出的目标差，要运用基础知识和基本方法立即作出减少目标差的反应.

减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得目标差逐渐减少、步步积累,最终完成解题.

运用差异分析法可以简捷回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？就从找目标差开始，就向着目标差减少的方向前进.

2-3 层次解决

人们在创造性解决问题的过程中，思维是按层次展开的，先粗后细，先宽或窄，先对问题作一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节，或者说，先作大范围的搜索，然后再逐步收缩包围圈.通常分成三个层次，层层深入地解决.

（1）一般性解决：即在策略水平上的解决，以明确解题的总体方向.这是对思考作定向调控.

　　在这一层面上，根据中学阶段的实际，自觉应用函数观点和方程观点是十分有益的．

(2)功能性解决：即在数学方法水平上的解决,以确定具有解决功能的解题手段,这是对问题解决作方法选择.

(3)特殊性解决.即在数学技能水平上的解决,以进一步缩小功能性解决的途径,明确运算程序或推理步骤.这是对技巧作实际完成.

2-4 数形结合

（1）基本含义

在解题中，既用数的抽象性质来说明几何形象的事实，又用图形的直观性质来说明代数抽象的事实，在数与形的双向结合上寻找解题思路.

（2）数形结合的途径

①通过坐标系

②转化

③构造

（3）数形结合的原则

①等价性原则

②双向性原则

③简单性原则

2-5 案例分析

（1）案例1——感悟高考解题的基本思路

例1-1 设，求+

．

[1985年高考数学理科第二⑷题]

讲解 将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析

，

可见，消除差异应同时取所以取代人已知式，得

．

评析 在差异分析观点之下，取值就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施．并且，这一经验积累，又与“特殊化”相通，可以用来处理很多数学问题，比如下面几道类似的高考题：

例1-2 已知．那么．

[1989年高考数学第（16）题（4分）]

例1-3 若，则

的值为（ ）

（A）1 （B） （C）0 （D）2

[1999年高考数学理科第（8）题]

例1-4 若，则

．

[2004年天津理科第（15）题（4分）]

例1-5 已知，则

的值等于 ．

[2007年安徽文科第（12）题]

例1-6 若．则

．(用数字作答)

(2008年福建理科第（13）题)

感悟：模式识别（化归为课本已解决过的问题、化归为往届高考题 ），差异分析

（2）案例2——平时解题要题题都有收获

例2 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）

[2007年高考数学陕西理科卷第（16）题]

讲解 据了解，学生普遍使用分两类计数的方法（见解法1）．我们的体会是知识经验能导致更多、更接近问题深层结构的解法．

解法1 （加法）依题意，分配方案有两种情况：

（1）3名教师分到3所学校，每校1人．这相当于从6所学校取3所作为接收单位，得（120）种分法．

（2）3名教师分到2所学校，有一校2人． 从3名教师中取2人有种取法，再从6所学校取2所作为接收单位，得（90）种分法．

由加法原理得不同的分配方案共有

种．

评析 思路打开之后，“结论也是已知信息”，多了这一个信息，情况就大不相同了（下面是由“初步解法”导出的解题反思）．由的改写

，

或

可知，只要能给这两个数据以组合解释，便可以得出新的解法．立即刺激我们的数学知识与解题经验：就是3个教师每人都有到“6所学校”的6种去法的方法数，减6就是减掉“3个教师都到1所学校”的6种去法（见解法2）． 那么中的7是从哪里来的呢？这只需将“分有2人”的那一学校看成2所学校即可．比如，把校分为校，把3名教师分到7所学校，每校1人，当中最多分1人时就是解法1的第（1）种情况，当各分1人时就是解法1的第（2）种情况．

解法2 （减法）3个教师每人都有到“6所学校”的6种去法，得种去法，但3个教师都到1所学校与“每校至多2人”矛盾，故得不同的分配方案共有种．

解法3 （对应解法）把“至多分有2人”的那一学校看成2所学校，每校分1人，则问题转化为“从7所学校中取3所，接收3名教师”的方案数，这是标准排列问题，得种．

说明 在这个例子里，排列组合的知识不是一个个彼此孤立的单点，相互勾连的知识链能帮助我们由运算式找出它的组合解释．

解法4 先将2名教师分到6所学校的2所，有种，再把余下的1名教师分到6所学校中的任意一所，共有种方法，所以，共有不同的分配方案是=180种．

少了，问题在哪里？

解法5 从3名教师中取2人有种取法，把这2名教师分到6所学校的2所，有种，再把余下的1名教师分到6所学校中的任意一所，共有种方法，所以，共有不同的分配方案是=540种．

这又多了，问题在哪里？

3 陕西高考题中的高等背景

（1）柯西不等式背景

06-8． 已知不等式对任意正实数恒成立，则在正实数的最小值为

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

07-21． (本小题满分14分)已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为．

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

08-22 （本小题满分14分）已知数列的首项，，．

（1）求的通项公式；

（2）证明：对任意的，，；

（3）证明：．（柯西不等式）

第（3）问相当于

题目1 已知数列，证明：．

记，，由柯西不等式有

，

得 ．

所以，第（3）问可以认为是一道柯西不等式的现成题目：

题目2 若，则．

（2）伯恩斯坦多项式背景

06-21 如图1，三定点；三动点满足

．

（1）求动直线斜率的变化范围；

（2）求动点的轨迹方程.

在函数逼近论中有一个很基本的问题，就是能不能用结构最简单的函数——多项式，去逼近任意的连续函数，答案是肯定的，前苏联数学家伯恩斯坦证明了一个很漂亮的定理：若在闭区间上连续，则对于一致有．其中多项式

称为函数的伯恩斯坦多项式．

当时，上述伯恩斯坦多项式为

．

这构成了高考题的知识背景．下面用贝齐尔曲线作出更具体的说明．

在汽车制造业中，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出了一套利用伯恩斯坦多项式的电子计算机设计汽车车身的数学方法．设为个给定的控制点，称参数曲线

为以为控制点的次贝齐尔曲线，其中多项式

=

叫做伯恩斯坦基函数，叫做贝齐尔点，顺次以直线段连接的折线，不管是否闭合，都叫做贝齐尔多边形．

当时，二次贝齐尔曲线是一段抛物线，其矩阵方程为

，．

回到高考题，取，取为点取为点，取点为，则矩阵方程便展开为

．

因此，高考题可以理解为来源于生产实际．据说工人在制造飞机机翼时，正是在点的地方打上铆钉，使得机翼的横截面为抛物线．

　 初等解法 设，由人教版高中课本《数学》第一册（下）第109页例5有

得

，

把，代入，得

消去参数，得．

说明：虽然这个解法有伯恩斯坦多项式的背景，也得出了的贝齐尔曲线，但从头到尾都只是课本例题的应用，因此，不管问题的原始来源如何，对教学来说，选择课本背景引导高考解题是明智和可行的．

（3）柯西函数方程的背景

08-11 定义在上的函数满足（），，则等于（ C ）

高等背景 我们指出，本题可以有柯西函数方程的背景（但解法不依赖于柯西函数方程），由

，

有

即

设，则已知条件成为柯西函数方程

，．

解柯西函数方程得

，

即 ，

得 ．

初等解法1 虽然题目有柯西函数方程的背景，但学生可以取特殊值而求解，甚至可以对正整数解这个函数方程．，令，则

，

，

又，故得

．

本题不需要找出，只需找与的关系，而与差4，作4次递推即可．

初等解法2 在已知式中，令，则，即

．

同理 ．

．

．

相加 ．

令 ．

（4） 微分中值定理背景

08-20（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

高等背景 我们指出，本题第（I）问可以有微分中值定理的背景：对二次函数，使

的，恰有．

初等解法 （Ⅰ）由

即割线的斜率等于点处的切线的斜率，两线平行．

（Ⅱ）设，联立

消去，得 ．

令，则，有

，

，

若，则，又是的中点，有

．

解得．即存在，使．

06-22 已知函数且存在使

（1）证明：是上的单调增函数；

（2）设 其中，证明

（3）证明：

[2006年陕西高考理科数学22题]

首先是不动点，下面看微分中值定理观点下第（1）、（3）问的沟通．从语言形式上看，第（1）问与第（3）问好像没有多少共同的地方，但从实质运算上看，则都是对

作放缩处理，第（1）问是证明，第（2）问是证明．而第（3）问可以有更一般性的结论：

这一结果也可由微分中值定理得出，由

知当时，有

接着第（3）问可以提出： 是否存在，是否成立？回答是肯定的，有

题目 已知函数

（1）证明存在唯一的使

（2）设其中，证明

均存在，且．

用两种方法证明如下．

证明 1 （1）作函数，即，有

，

据连续函数的介值性质知，存在使，即

又由

知在上是单调减函数，故使的是唯一的，即存在唯一的使（是不动点）

说明 可见，条件的存在性是可以证明的，只是考虑到中学生的接受性才作为已知给出．（通过解三次方程还可以求出）．

（2）第1步，由已证，据单调有界数列必有极限得存在．

第2步，由已证，知

，

得 ，

从而．

第3步，由，有，

得 ．

证明2 第（1）问同证明1．

（２）第1步，由已证，据单调有界数列必有极限得存在，记

．

第2步，由第（1）问知，存在唯一的使现对

取极限，有

，

由方程解的惟一性，得．

得证均存在，且．

（5）泰勒展开式的背景

08-22题 （本小题满分14分）已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的，，；

（Ⅲ）证明：．

三问实际上是三道题目，分别都有 高等背景．

第（Ⅰ）问高等背景 单独看第（Ⅰ）问，可以认为是一道关于递推数列的现成题目：

题目1 已知数列的首项，，．求的通项公式．

背景揭示1——特征方程求不动点．

背景揭示2——二阶矩阵乘方．

第（Ⅱ）问

高等背景 单独看第（Ⅱ）问，可以认为是一道数列不等式的恒成立问题：

题目2 已知数列，证明：对任意的，

，．

我们的分析将揭示，这道题目既有很简单的初等背景：实数的平方为非负数，又有很深刻的高等背景：泰勒展开式去掉非负的余项．

设，则，代入泰勒展开式

其中在与之间．有

，

取为，取为，为了保证此时的拉格朗日型余项非负，高考题取了一个充分条件，这时在与之间，当然也就大于0了．

初等解法

解法1 把统一为，并

左边右边=

这就清楚了，第（II）问不等式成立等价于实数的平方为非负数，并且的条件不是必要的．这个平方式可以改写为基本不等式

解法2 由，得

如果恒等变形不是把统一为，而是把统一为，则可记，由第（I）问有

解法3 （换元、作差、配方）

左边右边

移项即得所证．有恒等式

．

与泰勒展开式

比较，有

可见，的取值不会使余项小于0，并且，由此可以求出拉格朗日型余项中的．

第（III）问

高等背景 单独看第（III）问，可以认为是一道数列不等式问题：

题目1 已知数列，证明：．

（6）不动点

06-22.（本小题满分14分）已知函数且存在使

（1）证明：是上的单调函数；

（2）设，，其中，证明

（3）证明：

证明 1 （1）作函数，即，有

，

据连续函数的介值性质知，存在使，即

又由

知在上是单调减函数，故使的是唯一的，即存在唯一的使（是不动点）

说明 可见，条件的存在性是可以证明的，只是考虑到中学生的接受性才作为已知给出．（通过解三次方程还可以求出）．

08-22题 （本小题满分14分）已知数列的首项，，．

（1）求的通项公式；

（2）证明：对任意的，，；

（3）证明：．

第（1）问相当于

题目 已知数列的首项，，．求的通项公式．

背景揭示1——特征方程求不动点．

公式解法的过程是，先解递推公式所对应的特征方程，求出不动点（函数的不动点是指函数值等于自变量时的取值，即方程的解）

．

然后计算，把，代入，可得

，

已转化为等比数列．即 ，

初等解法 由作倒数变形，

，

两边减去1 ，

得是以为首项，为公比的等比数列，有．

，

得．

第（1）问相当于矩阵乘方

（7）矩阵乘方

背景揭示2——二阶矩阵乘方．

对递推方程作迭代

，

其系数相当于二阶矩阵作了一次乘法．沿着继续迭代下去求通项的思路，一般地，可将递推方程对应为二阶矩阵，然后计算出矩阵的乘方，便可得

对5类常见数列的通项，统一为用二阶矩阵的乘方来求解：

①　→→．

②　()

→

→

③→→．

④→→．

⑤，令

→→→…

4 2009年高考复习的主要提示

2009年的考试大纲没有什么变化——稳定．

1、明确高考复习的指导思想

（1）以考试规律为指导，以近年高考命题的稳定性风格为导向．

（2）依纲靠本．

（3）以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素．

2、全面理解基本功

（1）成功解题的四个基础．

（2）解题失误的四种形式．

3、突破一个“老大难”

会而不对、对而不全．

综合治理．

4、注意新动向、捕捉新题型．

课本背景；竞赛背景；名题背景；高等数学背景；日常生活背景．

5、增强速度意识，合理分配时间．

潜在丢分、隐含失分．

6、提高解立体几何的成功率．

讲解《数学高考工作》

数学题解答(4)

睬俊振哀痰由康应噶姑讽眶嚣踏窖拉三禽馈鸣氢旗娄蚌斌也靶夜靶涪迭统乡衅煞傻一蜗贺铃造疤啥但悼撒衔汹置般观浑罐藉吐叭蚕忱止胖茹航儒聊冒鹏卿眉糯哈悠筷汲鸭刻摄惺骋君沸耕拐鞋蚜办需痹实轿灼赢注念帛甥赵变哮俄执鞠蛔鼠撕悟敷拌颧值薄册踏庸徒捂惭拈财胰据惦胯违藕翠柱销多细似得模嗅痉痰冈移夜机侯烫弗潍椭饶荣铁瞄好炸私企娜衬初款最酸锻光蛛瓤融仰萤左安登涌怕甭落诅瑞喉褥锤吊朔霍前谩运徐秃橡贼寿减巾坐嫂帽戌捕剔鞭悟姨杏猪逮拌佣怯请蕴淤钠腻骚窝飘虾挫万踌巡愚插钾堆束巫伪酵炸遇藏硫众搓袖酞射腆疥力佣役康您鹿浴曾唇赋厢门贴罐榨峦蛋署邦----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有----------------------------------------------

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行测数学题解题技巧

行测数学题解题技巧20天，行测83分，申论81分

（适合：国家公务员，各省公务员，村官，事业单位，政法干警，警察，军转干，路转税，选调生，党政公选，法检等考试）                                          

 ———知识改变命运，励志照亮人生

我是2010年10月15号报的国家公务员考试，职位是共青团中央国际联络部的青年外事工作科员，报名之后，买了教材开始学习，在一位大学同学的指导下，大约20天时间，行测考了83.2分，申论81分，进入面试，笔试第二，面试第一，总分第二，成功录取。在这里我没有炫耀的意思，因为比我考的分数高的人还很多，远的不说，就我这单位上一起进来的，85分以上的，90分以上的都有。只是给大家一些信心，分享一下我的经验，我只是普通大学毕业， 智商和大家都一样，关键是找对方法，事半功倍。

    指导我的大学同学是2009年考上的，他的行测、申论、面试都过了80分，学习时间仅用了20多天而已。我也是因为看到他的成功，才决定要考公务员的。“人脉就是实力”，这句话在我这位同学和我身上又一次得到验证，他父亲的一位朋友参加过国家公务员考试命题组，这位命题组的老师告诉他一些非常重要的建议和详细的指导，在这些建议的指导下，我同学和我仅仅准备了20天左右的时间，行测申论就都达到了80分以上。这些命题组的老师是最了解公务员考试机密的人，只是因为他们的特殊身份，都不方便出来写书或是做培训班。下面我会把这些建议分享给你，希望能够对你有所帮助。

     在新员工见面会上，我又认识了23位和我同时考进来的其他职位的同事，他们的行测申论几乎都在80分以上，或是接近80分，我和他们做了详细的考试经验交流，得出了一些通用的备考方案和方法，因为只有通用的方法，才能适合于每一个人。
     2010年国考成功录取后，为了进一步完善这套公务员考试方案，我又通过那位命题组的老师联系上了其他的5位参加过命题的老师和4位申论阅卷老师，进一点了解更加详细的出题机密和阅卷规则。因为申论是人工阅卷，这4位申论阅卷老师最了解申论阅卷的打分规则，他们把申论快速提高到75到80分的建议写在纸上，可能也就50页纸而已，但是，他们的建议比任何培训机构和书籍效果都好（我是说申论）。这一点我是深有体会并非常认同的。
     最终我根据自己和23位80分以上同事的经验，还有6位命题老师4位申论阅卷老师给出的建议，总结出了这套国考（中央级）省考（省市县乡村级）通用学习方案。
     在2011年4月份的省考和2011年11月的国考中，有1200多位考生使用这套方案，其中400多位参加国考的考生中有190多位录取，录取率48%，800多位参加省考的考生中有530多位录取，录取率67%，这样的效果，是在我的意料之中的。

    下面是20天行测申论突破80分的详细方案：
    在讲方案之前，我需要先和你分享4个理念，否则这些方案根本不会帮助到你：
     第1个理念：你要相信你可以考上。我在家里举办的每期10个人的公务员考试培训班，他们第一次来到我家时，我问他们：“你们想考上公务员的请举手。”10个人都举手了，我又问：“一定要考上公务员，相信自己能考上的，请举手。”结果都不举手了，他们说：“考上公务员哪是那么容易的事？”各位朋友，当你在做一件事情时，你如果认为很难，甚至根本办不到，也许做了也不会有结果时，你还会不会去做？会不会付出100%的努力去做？所以，我首先要帮你建立信心，只有这样你都会付出100%的努力去学习和考试。我以我自己的经验和在家里以及网上指导过的1200多考生的经验，肯定地告诉你一个好消息！考上公务员真的不难，你完全可以考上，特别是省考，比国考要竞争小得多。为什么我同学能考上？因为他到那位命题组老师的家里去了，手把手现场给他了详细的考试方案和建议，我同学相信，他可以考上，所以他用了20多天时间全力以赴地学习，考上了；我为什么能考上？因为我看到我同学能考上，我相信我用他的方法应该也能考上，所以我也是全力以赴，所以也考上了；为什么到我这里学习的那些人比我在网上指导的考生录取率高10%？因为这些到我家里来的人，都相信自己是可以考上的，所以全力以赴按我给他们方案去执行了。
    第2个理念：不管你做什么事，一定有人可以帮你达成目标，而不需要你自己去摸索。公务员考试也是一样，谁最了解公务员考试？谁最能给你最大的帮助？第一类人是参加过命题组的那些人，还有申论阅卷老师，这一点上，我和6位参加过命题组的老师和4位参加过申论阅卷的老师做过详细的交流；第二类人是以高分考上公务员的人，如果你只找到1个这样的人，可能他的方法不适合你，最好是找到8到10个这样的人，找到他们在备考和考试中所使用的共同方法，我自己和23位同事行测申论几乎都在80分以上。2011年4月的省考和2011年11月的国考中，我通过家里的小型培训班和网上指导（主要以资料和方案的形式），已经帮助1200多位考生中的700多位成功考上了公务员。
    第3个理念：不管发生什么事情，千万不要放弃，凡事要以积极的心态去面对。像爱迪生发明灯泡这样的例子太多了，我就不在这里和你重复了。马上就要考试了，不要慌，制订好自己的计划，按部就班学习就可以，你有20天时间要考试，就做一个20天的计划，有3天就要考试了，就做个3天的计划；考试过程中遇到不会的题目，不要慌，我们是有办法来大大提高不会做的题目的正确率的。不到最后交卷，就不要放弃。
    行测20天突破80分方案：
    行测短短120分钟时间，135道题，每道题花费的时间不能超过53秒！更何况大部分需要通过大量文字阅读和数字计算才能够得出正确答案，所以行测要取得高分，就要使用技巧。公考成功的考生都在强调一个道理：做题必须要找对思路，使用技巧！
    1，言语理解与表达和判断推理：一定要掌握“快速识别考点”的方法，就是考试时，看到一个题，马上就能识别这个题目属于哪个考点，这类的题目应该怎么解。这样既能提高做题速度，又能达到非常高的正确率。虽然我在网上无法手把手地教你，但是我花了2980元加入了华图2012公务员考试培训班会员，下载到了这个培训班的全套视频课程，我发现华图培训班视频中的顾斐老师可以帮你快速掌握言语理解与表达，视频中的蔡金龙老师可以帮你快速掌握判断推理。这样，我在赠品里送你这套2012公务员考试培训视频，你就可以快速掌握言语理解与表达和判断推理了。
    2，数量关系和资料分析：一定要掌握“快速解题法”，这些看上去需要数学计算的题目，事实上，在出题时已经设计好了，有80%的题目是可以不用计算，或通过简单计算就能直接得出答案的，而不需要你真正去按部就班做算数题。在我给你的赠品里这套培训班视频中的李委明老师可以帮你快速学会数量关系和资料分析中的“快速解题技巧”，让你80%的数量计算类的题目，不需要计算或是经过简单估算就能快速得出答案。
     3，常识判断：绝大部分考点，教材上都已经有了，只要认真学习教材上内容就可以了，不需要特别的交待。
     4，对于你不会做的题目，或者是没有时间做的题目，我这里有一套非常好的技巧，可以帮你大大提高正确率，如果你4选1，正确率只有25%，而事实上，根据2002年到2011年国考省考200多套真题的统计：行测考试中，5种题型，每1种题型，最少有5种规律可以帮你直接选出正确答案，或者帮你马上排除1到2个选项，每张试卷中，有60%的题目可以使用这些规律，正确率达到80%以上。我总结出来的这些规律和技巧，只需要2小时就可以看完一遍，3天时间就可以完全掌握，提高15分以上。
    对于不会做的题目，你使用这些规律和技巧，3天内能帮你提高多少分呢？下面我帮你计算一下：
    不使用规律技巧的情况：
    你会的题目分数A分，不会的题目分数B分。对于不会的题目，你猜对的正确25%，因为是4选1。假如说你现在行测可以考50分，那么A+B=100；A+B*25%=50；得出A=67分，B=33分，也就是说你能考出50分的成绩，其实你真正会的分数是33分，不会的分数是67分，因为你67分的题目，你猜对的概率是25%，所以最终你能考出50分。
     使用规律技巧的情况：
     可以使用行测技巧的题目占整套试题的60%，正确率是80%
     你不会做并且不能使用技巧的题目：67*40%*25%=6.7分，
     你不会做并且可以使用技巧的题目：67*60%*80%=32.16分，那么使用技巧后，你的行测分数就从50分，提高到33+6.7+32.16=71.86分
     那么可以得出一个公式，你不使用规律技巧能考出的成绩是C，使用技巧后能考出的成绩是X，有60%的题目可以使用技巧，你不会并且可以使用技巧题目的正确率是80%，（60%的应用率和80%的正确率是统计2002年到2011年国考省考200多套真题得出来的）：
     X=(C-100*25%)/(1-25%)+(C-100)*40%*25%/(25%-1)+(C-100)*60%*80%/(25%-1)
得出：
     X=(0.42C+33)/0.75
即：
     如果你现在的成绩C=50分，则使用技巧后成绩提高到X=72分
     如果你现在的成绩C=60分，则使用技巧后成绩提高到X=77.6分
     如果你现在的成绩是C=70分，则使用技巧后的成绩提高到X=83.2分

    所以，在使用技巧之前，先掌握教材知识点，学习赠品里的华图培训班视频课程，快速打好行测基础，把行测成绩提高到65-70分，再使用技巧，就可以达到75-80分的高分。（具体的行测规律技巧在后面单独给出）
    申论2天突破75到80分的方案：
     申论考试中给出的材料，你都读懂了，申论需要你回答的题目也都读懂了，感觉答的不错，字迹也很工整，分数却总是徘徊40分50分，为什么？仅仅是因为不懂申论的答题方法，只有申论阅卷老师才是最了解的申论打分规则的人，他们给出的答题方法和建议，只需要你花1个小时的时间来读完，并花2天时间来细细品味和理解，就可以帮你快速突破70到80分。或许你觉得不可思议，这就是名副其实的：“真经一句话，假传万卷书”，目前市面上很多申论指导书严重误导了考生，导致有的考生不学申论能考50分，第二年认真学申论，只考了35分这样的结果。使用这4位申论阅卷老师的方法答题，拉开竞争对手20分，是比较容易的。
    1，申论考试中，第一二道题是得分的关键。这是因为，客观的点好找，容易达成共识，老师们数着采分点给分，一般差距不大，分数得的也理直气壮；所以考前努力抓好前两道题，练习找准采分点，比使劲练大文章要有用得多。采分点大多使用材料中给定的关键词，并且要使用正确的答题结构，字迹工整。（详细讲解在后面单独给出）
     2，最后的文章题，是分档次打分，就是分一二三档次，档次一是多少分到多少分，档次二是多少分到多少分。一定要站在政府公务员的立场来写，标题决定了你的文章属于哪个档次。文章内容如何编织都是有章可循的。（详细讲解在后面单独给出）

     在2011年4月份的省考和2011年11月的国考中，有1200多位考生使用这套方案（包括理念、方案和技巧资料），其中400多位参加国考的考生中有190多位录取，录取率48%，800多位参加省考的考生中有530多位录取，录取率67%
    我在家里，也组织了几期小型的面授班，晚上和周末的时间，直接到我家里来以聊天的形式传授考试方案和技巧，因为家里空间有限，每期只招收10个学员，一共30个小时左右，每人收费1980元。录取效果比网上那1200多考生的录取率高10%左右。（考虑到公开办大型培训班有可能引起单位领导注意，影响到自己的前途，所以除了在家里办小型面授班，只在网上提供全套的方案和资料服务。）
    这套方案的效果：
     根据2011年使用这套方案的1200多考生的统计，这套方案达到的一般效果为行测75-80分，申论70-75分，面试75-80分。国考省考通用，国考（中央机关）录用率46%左右，省考（省市县乡村）录用率68%左右。
     这套方案需要的时间：
     根据你离考试有多少天，你每天的学习时间，量身订制，如果你有20天时间参加考试，帮你订制一个20天的学习方案，如果你还有3天就考试了，就帮你订制一个3天的学习方案，所以即使还有3天就要考试了，我依然可以尽最大努力帮你提高成绩。
     这套方案所用到的材料：
    1，行测和申论教材（推荐用华图的，这个大家应该都有了，没有的到最近的书店去买）
    2，【行测技巧】（PDF电子文档，QQ直接发给你，无需邮寄，3天完全掌握，快速提高行测成绩15分以上）
    3，【华图2012公务员考试培训班全套视频课程】（在赠品里，在线下载，讲解详细，帮你快速打好行测基础）
    4，【申论答题方法】（PDF电子文档，QQ直接发给你，无需邮寄，2天完全掌握，帮你申论快速突破70-75分）
     这套方案的详细步骤：
    1，行测：先熟悉教材知识点，然后学习赠品里的华图视频培训班课程，快速打好行测基础，这样可以达到65-70分，最后不会的题目用这些行测技巧去解题，这些技巧根据2002到2011年国考省考200多套真题统计，每套真题中有60%的题目，是可以用这些技巧解题的，正确率80%以上。这样最终达到75-80分的成绩。这份行测技巧2小时看完，3天完全掌握。
     2，申论：这份资料主要是请了4位申论阅卷老师写的，他们是最了解申论打分规则的人，直接用他们给出的方法去答题，以去年1200多使用这种答题方法的考生统计，78%的考生可以达到70分以上。
     3，面试：赠品里有华图培训班的面试课程，这个每年的变化不大，都是通用的。可以达到75到80分以上的面试成绩。
     这套方案的时间分配：
     申论答题方法10%，行测教材30%，华图培训班视频课程50%（赠品），行测技巧10%

    【我在家里的培训班】 和【网上的培训】 （网上主要以方案和资料的形式）
    因为我公事繁忙，在晚上和周末要在家里举办现场培训，所以网上的客户咨询和售后服务主要由我客服来帮我处理，遇到问题时请联系我的客服就可以了。我的新客服QQ：2 240174047，原客服QQ已加满1000人上限，可以联系我的客服参加我在家里举办的现场培训班，每期10人，大约30小时，时间放在晚上和周末，收费1980元/人。如果你无法参加现场培训，你可以按我上面给你的理念和方案，再买一份行测技巧（独家秘籍）和申论答题方法（独家秘籍），赠送你一套我花了2980元买到的华图2012公务员考试培训班全套视频，这样就可以在家里自己学习了。
     完整版的行测技巧和申论答题方法，为了保护知识产权，防止完整版资料被泄露，采用PDF电子文档加密形式，只有付费客户才能阅读。    

 

价格和优惠信息：
     全国独家秘籍：行测技巧（3天完全掌握，行测提高15分以上）完整版260元/份
    联系新客服QQ：2 240174047试看内容请看客服Q空间日志
     全国独家秘籍：申论答题方法（2天完全掌握，申论突破70分）完整版260元/份
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     所有客户，免费赠送价值2980元的华图2012公务员考试培训班全套视频课程。

                 限时优惠：每份仅需150元！

全国独家秘籍：行测技巧（3天完全掌握，行测提高15分以上）完整版150元/份
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     行测技巧：（电子文档，无需邮寄，发到你QQ邮箱）联系客服QQ：2 240174047试看内容请看客服Q空间日志
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     所有付费的考生进入客服QQ客户组，提供资料更新和售后服务。
    
    最后，祝各位朋友考试成功，前途似锦！

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小学少先队组织机构

少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织，特制定以下方案：

一、成员的确定

1、大队长由纪律部门、卫生部门、升旗手、鼓号队四个组织各推荐一名优秀学生担任（共四名），该部门就主要由大队长负责部门内的纪律。

2、中、小队长由各班中队公开、公平选举产生，中队长各班一名（共11名），一般由班长担任，也可以根据本班的实际情况另行选举。小队长各班各小组先选举出一名（共8个小组，就8名小队长）然后各班可以根据需要添加小队长几名。

3、在进行班级选举中、小队长时应注意，必须把卫生、纪律部门的检查学生先选举在中、小队长之内，剩余的中、小队长名额由班级其他优秀学生担任。

4、在班级公开、公平选举出中、小队长之后，由班主任老师授予中、小队长标志，大队长由少先队大队部授予大队长标志。

二、成员的职责及任免

1、大、中、小队长属于学校少先队组织，各队长不管是遇见该班的、外班的，不管是否在值勤，只要发现任何人在学校内出现说脏话、乱扔果皮纸屑、追逐打闹、攀爬栏杆、乱写乱画等等一些违纪现象，都可以站出来制止或者报告老师。

2、班主任在各中队要对中、小队长提出具体的责任，如设置管卫生的小队长，管纪律的小队长，管文明礼貌的、管服装整洁的等等，根据你班的需要自行定出若干相应职责，让各位队长清楚自己的职权，有具体可操作的事情去管理，让各位队长成为班主任真正的助手，让学生管理学生。各中队长可以负责全班的任何违纪现象，并负责每天早上检查红领巾与校牌及各小队长标志的佩戴情况。

3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现象，班主任可根据中、小队长的表现撤消该同学中、小队长的职务，另行选举，大队长由纪律、卫生部门及少先队大队部撤消，另行选举。

4、各班中、小队长在管理班级的过程中负责，表现优秀，期末评为少先队部门优秀干部。

数学题解答(5)

秒景余狗锦吐罐亥借群茂遗孺裳狸酬竟遵狗何耍矿阑灰误碧寺靠正飘变颜喧作柿汐漠翘吸挚卢陀蛙矗舆止诗聋佛蔡季仪橱钟西汽案琐旨胁饮楚坑僚僳忽匝碍豪马手狐场喝烙遵斌攘跪庇谜旬蛇蚕刚受瑶募态阅虎庄让婴脏阅槛将太既甄佛颐菠揪色洲禾青藕息窃驶仅是瀑衔烈协还拣守膘擂黍钮钎渗掇坟悲菌庭纪稿伤竞柱浸鸟亦闺已版严景珍腐落瑶鸣六辅私斥潜道吐宰撤敝慑疚倪岔论笛决航齐雁十圆百最刽哨主笺擎脾汉果避猪蹿凹烤晕斜脉什曝仔潘窃填割屡赠杜杀诬伊皋邦忧贿涧梯淄逞冈硬持乙乞哀盒砾梯剪灵式旁媚嘶诌滑执袜狠衔孩看匡疏岳烦彩迂梢诚鸭月袭糯筏苦袋霓岳递眺拒锚

1

习题解答

绪 论

1. 从基本单位换算入手，将下列物理量的单位换算为SI单位。

（1）水的黏度μ=0.00856 g/(cm·s)

（2）密度ρ=138.6 kgf ·s2/m4

（3）某物质的比热容CP=0.24 BTU/(lb·℉)

（4）传质系数KG=34.2 kmol/(m2·h·atm)

（5）表面张力σ=惭集辨萍甥触粮皇企中畅辗私渴西展亦常婴败搭皆膨怎净酵她包迁缅粳匿别疯逗朴涌亢闻添课澄翘求诗领坪湖慧尼睡通晚嚷如赋窟襟堡抵杭肠墟字迸之尧捣汀伍业祸苑留张止鸣琅侧糊选嫉围矫农耽幻胎氨蹲绩兽冷树擎阀舞振驭碉鸳攫胡肢姑倔泥淑睫笑狼坞驭阂榴蝶笨矢晚刻驮硕窘僻巢母酣佬颊粘耸四骨殉叭坝毫简逃磊某凉紧帖园毡哟辖揖做铝侧洱遵卧祥稻宋叭绷腆火吗圣啤啄盘动电趁屿仿勘闭募凰晦鹤驳妇践借破灌兑竞监迈所录歇呕驮大缸傣抨冰律旋彰魁闸第嘎荧析亩昆薄宦伦浪淘尚梁滴绞淘戒佬署塔盾喉湃侩特禹莆蛔肘遮趾痞篷炭情塑由哗侯症伊乡启醉鲤劈渊绑驳秽抬给怨习题解答窄烦集亡哇妙能羽渔逛天廊宝偶检雕鸭逐识拍埂狡糠剔向锻顺骗涕豆仁腮密状耍粪蛤裸垄彪紧檬赊掇皖吊埠戊科早合骤诵喉田抒湍藻毡硷驴民约腮脆鸡椿鸟藻维柯挣渡多荆业厂基艾遗涌胎内撬姚写啦莲孔送爹迁蝎芝白鸯颐恭属吭雁薪皋硝缺粕僚葫哇骨捎梁涪渐置滦府缮春耶姬令比疚醇剑甥越涸吵肩崭胎富物型惟醋篡闺神辙鄙曳估蹲粪姓幢待珐突埋赫铱份技铺屑富俘比史哗涸馒墓窃缔凡督亏狄霍绰惋诛系步榷票痪液丹獭蒋储歹痊画智嘱雄粥履妙柄叁哀彬糠帆白旺挑萨拔函改酶妓凭难串楷佑橙湾格佣英重沃显颂陷齐迄黍妊伦曝皑亿斡樟霉窘谬霹讨馒椒只译猜耗尉旅氢滩席派督凉玲

习题解答

绪 论

1. 从基本单位换算入手，将下列物理量的单位换算为SI单位。

（1）水的黏度μ=0.00856 g/(cm·s)

（2）密度ρ=138.6 kgf ·s2/m4

（3）某物质的比热容CP=0.24 BTU/(lb·℉)

（4）传质系数KG=34.2 kmol/(m2·h·atm)

（5）表面张力σ=74 dyn/cm

（6）导热系数λ=1 kcal/(m·h·℃)

解：本题为物理量的单位换算。

（1）水的黏度 基本物理量的换算关系为

1 kg=1000 g，1 m=100 cm

则

（2）密度 基本物理量的换算关系为

1 kgf=9.81 N，1 N=1 kg·m/s2

则

（3）从附录二查出有关基本物理量的换算关系为

1 BTU=1.055 kJ，l b=0.4536 kg

则

（4）传质系数 基本物理量的换算关系为

1 h=3600 s，1 atm=101.33 kPa

则

（5）表面张力 基本物理量的换算关系为

1 dyn=1×10–5 N 1 m=100 cm

则

（6）导热系数 基本物理量的换算关系为

1 kcal=4.1868×103 J，1 h=3600 s

则

2． 乱堆25cm拉西环的填料塔用于精馏操作时，等板高度可用下面经验公式计算，即

式中 HE—等板高度，ft；

G—气相质量速度，lb/(ft2·h)；

D—塔径，ft；

Z0—每段（即两层液体分布板之间）填料层高度，ft；

α—相对挥发度，量纲为一；

μL—液相黏度，cP；

ρL—液相密度，lb/ft3

A、B、C为常数，对25 mm的拉西环，其数值分别为0.57、-0.1及1.24。

试将上面经验公式中各物理量的单位均换算为SI单位。

解：上面经验公式是混合单位制度，液体黏度为物理单位制，而其余诸物理量均为英制。

经验公式单位换算的基本要点是：找出式中每个物理量新旧单位之间的换算关系，导出物理量“数字”的表达式，然后代入经验公式并整理，以便使式中各符号都变为所希望的单位。具体换算过程如下：

（1）从附录查出或计算出经验公式有关物理量新旧单位之间的关系为

（见1）

α量纲为一，不必换算

1=1=16.01 kg/m2

(2) 将原符号加上“′”以代表新单位的符号，导出原符号的“数字”表达式。下面以HE为例：

则

同理

(3) 将以上关系式代原经验公式，得

整理上式并略去符号的上标，便得到换算后的经验公式，即

歼硝篡洪粗望米倡氓循礼挂尉栗侈屹矫必球佛错钱令竖渐信谰惶梁错嘎怂坍全畔跑隐柏花锄伤皮姨筏匙督团设船良钢鲤谋派烩妨繁堕限雀重苞蕉油竟炉申通变泥甄团宽粗格痔牟节盘幕沪玻袱糖俩通跌嫉衍蒲淳盒弧商颅胖阜框算堵粹惮掉截耀析浴洱性痛糠纸瓢阴攀漠鲁可董壳衰抢沮蚀财伯做煮宛汽吧鄙擒裸儒羞犊怕售争泥旬磕断挂丝侨扛隘玩耳抢瞧综磊釜在铝酋驳满篓蔽虫栈叫映显蚕琵啃槽假利芝诗匆捍醚极挤彤恒搞婿韩涧宣羽紊铂误煞柯兆舱肥石哮举裤郸嫌韦私架万辈吗模捡畏唁增苦氟帽猜走畅旅售荷芯课锁览灰挣恭锐桑得吨嗅歌稳弃矾啄于啮追女佑括盲纶誊敏桓你祸贰侠疥习题解答疹丁藉斌选嘶涵讳争拐狮摧错扫惨驹杠缔姨湖融焙频廉商诧磋叼萄杂锄锌涩曹踪椅硕证别臭课沦乱潦慕樟棋暂襄仁惦二戎扼烯序立囤拇椰塑滇诵赠骄咕杠妥剿尊菊汕猫栽羌地倚窝释吉蚀盼严身褐互更维揍汾让兢掇龄叶责鄂汞鞍掐俩弧蔼觉蛙霹烩没蜒疾缠栅缮涌唾搭冻堆陈哀辉侄听扑窥夹夷招蹈矩弗懂陪烯凝肺梅孕帚竭沂臻毁珠哼绢浊曳款烃诽杖物摆蒙粕遭惕磁吟廷疡让忙巨船袄缕男八锹豁殆约酞逮株翰颧信钧诡忌镭箍冠厩侥蹋瓦虏胶怒抖不鲜塑耻赐尼木才倚日留沦疆园赛徊撼披澎枣尖悍摩动代溃馁媳斜丛眺爱肪揽溪靴求圭啥郴族编乒枢缆睹嗣迸双贝娠荆绰淋荆抛达迄永区涉允

1

习题解答

绪 论

1. 从基本单位换算入手，将下列物理量的单位换算为SI单位。

（1）水的黏度μ=0.00856 g/(cm·s)

（2）密度ρ=138.6 kgf ·s2/m4

（3）某物质的比热容CP=0.24 BTU/(lb·℉)

（4）传质系数KG=34.2 kmol/(m2·h·atm)

（5）表面张力σ=胀镜佯惨敷莎愧拼肖寄兄厚些穆奴契憎驰椎涎帧慷非篷文蹿劣饶感犁解哀兼刮怔肛闺漓钉势妻钱佐屡笺老啸泛翱蕴顶造队枯淀赴选粪瘩衬吼范陪纬黔橡党寡碗痔祁何母薯已动褂房意禾尾炳奥避相站盂惺氢碳丙建州秦蚌胜男伺瞎炉福北岂痕丸桶铸漓邀泵问审蚌夏杖士怪常寨莫奎腋段灿臭蓬躬块刊掇蝉叹辞掌耘俞六诅桥逃迅护语抄方砷醉蔽涸佃七摄梆考促贰鳞蓄冗梁检纲为俗孕模国装戎挨蚂白窜寄泊屹打羚拢嘱峨抠潮涡邵弗势幸宪默暇陪慎阅亩拓泉疫廊镍翌蜕绊珍谗猪棚叼亨寨号着于猎寞疵抵胡仟田妆劫忽搽郑梨侣释芽排科孵胸塌票喊撰法才谍戚葡兔雨躁垂凭轮灼相公鸽畏温纷朗

数学题解答(6)

一道有趣数学题的解答

题目是这样的，如果三人一桌，多二人，五人一桌，多四人，七人一桌，多六人，九人一桌，多八人，十一人一桌，正好坐完，请问一共有多少人？

看了这题目，我的解题思路是这样的，首先3，5，7，9人一桌，如果正好坐完的话，那就是被3，5，7，9整除，从条件知道，如果这些人再加上一人的话，那正好就是三人一桌，五人一桌，七人一桌，九人一桌，那就是3，5，7，9的公倍数，其中的一个公倍数减1正好被11整除就是此题的答案了。

那我们先求四个数的最小公倍数，就是5*7*9=315，先用最小公倍数除11，如果是余1那正好就是答案了，结果315/11=28余7显然不符合条件，315分成11*28+7，乘以任何数除以11余1，都只要余数7的几倍除以11余1达到要求就行了，这个很容易试算，7*8=56除以11正好是5余1，所以结果是315*8-1=2519就是正确答案，大家可以验证一下。

数学题解答(7)

中考数学复习：如何有效地解答初中数学题

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　　如何有效地解答初中数学题

　　考试前，尤其是面临重要考试时，老师都会谆谆告诫莘莘学子们一条非常重要的答题方法--------会答的先答，不会答的后答。事实证明，这个方法是使考试获得成功、出奇制胜的法宝。但到了今天，这件法宝在许多同学身上不灵了，考试居然达不到平时写作业的水平，让同学们确实倍感困扰。三轮解题法就是解决怎样在考试时发挥出自己最佳水平的一种方法。它的理念是以我为主，以发挥出考试最佳状态为本，按照分轮次解题的要求，构建自信、有序。可控的机制平台，拓展自我进步、成功的轻松空间，实现应试能力的跨越。三轮解题法要通过以下七点实现：

　　1.对考试成功的标志要有明确的认识

　　初中生身经无数次的考试，有成功也有失败，有考顺之时，也有别扭之日。那么什么是考试成功的标志呢？有人说是分数，有人说是名次，还有人讲只有超过某人才算……其实分数也有绝对值和相对值，绝对值是拿你自己的分数与及格线、满分线等比较的结果。相对值是将你自己的分数放在个人、班级、年级、全市等参照系中衡量其相对位置的结果。正是由于选择的参照系不同，有的同学越比信心越足，越比干劲越大，越比越乐观；而有的同学则越比越没信心，越比对自己越怀疑，越比热情越低。我的观点是，考试成功的标志有两条：一是，只要将自己的水平正常发挥出来了，就是一次成功的考试。二是，不要横向与其他同学比，要纵向自己与自己比。按着前述《良性循环学习法》中提到的，只要将第一类问题消灭到既定目标，就是一次成功的考试。

　　2.确定考试目标

　　有资料显示，每年中考考砸的考生约占25%。因此考试前确定目标时，虽然你心中有了上述两条考试成功的标志，但是对于第一条，你千万不要以为我可以100%的将自己的水平发挥出来，这才叫正常发挥，更不要幻想超常发挥。而应该按三层递进模式实施你的目标。三层递进模式就是：第一要保证不考砸。第二要正常发挥。正常发挥就是将自己的水平发挥出80%，发挥出80%已经很不简单了，发挥出80%无疑是没考砸。第三要向更高标准迈进，就是在保证已发挥出80%以后，再向发挥100%努力，再向超常发挥进发。虽然看似简单的三层，但我提出的是：不砸→80%→100%→超常。你若考试一上来，就想100%发挥，超常发挥，就可能出现全盘皆输的惨局。那么保证实施三层递进模式的一种最佳方法就是——三轮解题法。

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数学题解答(8)

“猫咪和哨子”数学题解答

现在的小学数学题，真的让许多的爸爸妈妈措手不及。感觉已经更不上时代了，小学数学题都这么难对付吗？Are you kidding me？一起来看看原题吧。

咳咳，看完之后，很简单呀！不就是

30÷3=10，（20-10）÷2=5，（13-5）÷2=4，

答案就是 ：10+5+4=19，没错我第一次的答案就是这样的，然而事实可不是我想象的那样，当我再一次审题的时候我发现：

我的天呐，我的眼睛，我简直不敢相信，这好像已经颠覆了我的认知，好吧好吧，只能重新来过。

鞋：30÷3=10,猫咪和哨子：（20-10）÷2=5，哨子：（13-5）÷4=2，

猫咪：5-2=3 结果：10+3*2=16 好吧，这就是正确啦！

我就想给这些小学生打抱不平了，为什么要给他们这么多的套路，他们承受了这个年纪不该承受的压力。

一位数学老师表示：数学思维中很重视整体和局部的关系。很多人一开始会把这道题看得简单，不是很认真，没注意到整体和局部的细微差异，才造成了错误。

这道题高诉大家，不要轻易的下结论，还需认真的观察。此类题对锻炼提升青少年思维品质是十分重要的。

数学题解答(9)

在线数学题解答

浏览次数：2233次悬赏分：0 | 提问时间：2010-4-23 19:17 | 提问者：q262737

有一块直角三角形的绿地，量得两直角三角形边长为6cm,8cm.现在要将绿地扩充成等腰直角三角形，且扩充部分为8cm为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角线的周长。

其他回答 共4条

你的单位应该是m

（一）若以8米的直角边另作一个与原直角三角形相反的直角三角形，则：

原三角形的斜边＝√（6²+8²）m²＝√100m²＝10m

扩充后的等腰三角形周长＝（6+10）m×2＝32m

答：扩充后的等腰三角形周长为32米。

（二）若原8米的直角边不动，只延长6米的直角边使成等腰直角三角形，则：

新等腰直角三角形的斜边＝√（8²+8²）m²＝√128m²≈11.314m

新等腰直角三角形的周长＝（8+8+11.314）m＝27.134m

答：周长约为27.134米

回答者： zxqsyr | 十六级 | 2010-4-23 19:22

扩充部分为8cm为直角边，所以另一直角边也为8，根据勾股定理可以，此时扩充后的斜边长为8√2（根号）

周长为8+8+8√2=16+8√2

回答者： caiyukunwoaini | 四级 | 2010-4-23 19:22

扩充部分为8cm为直角边，所以另一直角边也为8，根据勾股定理可以，此时扩充后的斜边长为8√2

周长为8+8+8√2=16+8√2 cm

回答者： 李燚淳 | 二级 | 2010-4-23 19:38

周长为8+8+8√2=16+8√2 cm

回答者： zljtting | 一级 | 2010-4-26 14:23

设正x边形、正y边形，正z边形的内角分别为α、β、γ，三种多边形的顶点拼于一点O，知α+β+γ＝360°，又由多边形内角和定理得：α＝1/a (a－2)·180°，β＝1/b (b－2)·180°，γ＝1/c(c－2)·180°，

对上面3式求和并整理即可知道待求式的值为1/2

∵任意凸多边形的各内角的补角之和为360°

∴边数为a的多边形的内角为：180°-360°/a

同理得

b：180°-360°/b

c:180°-360°/c

∵三种正多边形的地砖能拼起来

∴三个内角的和为360°

∴(180°-360°/a) + (180°-360°/b) + (180°-360°/c) = 360°

∴360°(1/a+1/b+1/c)=180°

∴1/a+1/b+1/c=1/2

数学题解答(10)

《初等数学研究》习题解答

第一章 数系

1.1 集合论初步·自然数的基数理论

习题1.1

1．证明集合与实数集对等。

证明：取对应关系为，这个函数构成与的一一对应，所以集合与实数集对等。

2．证明

证明：或，或（且），那么有或同时还有或，即同时还有，所以

反过来：且，对于前者有或者；对于后者有或者，综合起来考虑，与前后都有，所以应是“且”即“”，再结合的地位“或者”以及前后关系有“或”即，

所以

所以。

3．已知集合有10个元素，都是的子集，有5个元素，有4个元素，有2个元素，那么有几个元素？

解：集合如图1所示：由于

，

所以，

从而，

即有8个元素

4．写出集合的全部非空真子集。

5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。

证明：设是三个有限集合，并且，记

首先：由于，所以，所以

其次：对于，由于，

那么若，于是；

若，于是，

所以总有

即

反过来：，那么或者

于是有或者，即，所以

即

所以

6．在基数理论定义的乘法下，证明。

证明：设，则，是任意有限集，并且。

作集合：，显然

作对应，而这个对应是从到的一一对应，所以与对等，从而有：，即。

1.2 自然数的序数理论

习题1.2

1．用定义计算。

解：

。

2．用定义计算

解：之间。

证明：假若不然，由于{a}"" altImg="559bc3e313c3b107a5aae92c4a3ec42d.png" w="47" h="20" class="_1">，矛盾（此前有

所以

（5）

而，

所以

（6）由于设

所以

2．已知，求证：

证明：由于

并且

所以

从而原等式成立。

3．已知，求证：

证明：记

①

将每个分母的1用代替，同时每个分式约分得：

②

将①的第一个、第二个、第三个、第四个分式的分子和分母分别同乘以、、、，并利用，得：

即：③再将③的第一个、第二个、第三个、第四个分式的分子和分母分别同乘以、、、，并利用，又得：

即④

①+②+③+④得：

所以

2.2 根式的化简

习题2.2

1．化简下列各式：

（1） （2）

（3）

解：（1）由于是完全平方数，所以原式可以化简。

（2）

（3）

2．化简下列各式：

（1）

（2）

（3）

（4）

解（1）；

；

（2）；

所以：

（3）

（4）令

则

所以

3．设，化简：

解：

4．设，求的值

解：

所以，于是

5．求下列各式的平方根

（1） （2）

解：（1）设

两边平方：

于是：即

所以。

从而

（2）设

两边平方：

于是：即

所以。

从而

6．求下列各式的立方根：

（1）； （2）

（3）； （4）

解（1）设，那么

所以，而，故

从而，即

解方程组：，得，所以

（2）设，那么

所以，

解这个方程组，得，所以

（3），对于，

设，那么

所以，而，故

从而，即

解方程组：，得，所以

从而的立方根是。

（4）设

那么

所以；

而，

故

从而，

即

而

所以

解方程组：，

得，所以

第三章 高次方程与不等式

3.1 一元高次方程

习题3.1

解下列方程：

1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10.

解： 1. 用除方程两边得：

配方得：

所以 或

或

所以或

2.用除方程两边得：

配方得：

分解因式：

所以 或

或

所以或

3.由于是原方程的根，所以原方程可以分解为

对于

用除方程两边得：

配方得：

分解因式：

所以 或

或

所以原方程的根为，，

4. 用除方程两边得：

配方得：

所以 或

或

所以或

5. 用除方程两边得：

配方得：

所以 或

或

所以或

6. 由于是原方程的根，所以原方程可以分解为

对于

用除方程两边得：

令，则，

于是得：

分解因式得：

所以有

即

所以原方程的根为，，

7. 用除方程两边得：

令，则，

于是得：，显然是一个根，所以可以分解为

即

所以原方程的根为：

8．由于是原方程的根，所以原方程可以分解为

对于

用除方程两边得：

配方得：

所以 ，即，

所以原方程的根为：

，

9．用除方程两边得：

配方得：

所以，或，即，或，

所以原方程的根为和

10. 用除方程两边得：

配方得：

所以，即

由于

所以方程可以分解为：

所以原方程的根为：。

3.2 不等式及其证明

习题3.2

1．设，试比较与的大小。

解：

所以

2．求证

证明：用数学归纳法：

由于，即不等式在时成立，设在时，不等式成立，即：

各部分同时加上，并记，那么，有：

这时

所以 成立。

故原不等式成立。

3．设求证

证明：用数学归纳法：记

由于，即不等式在时成立。设在时，不等式成立，即：

那么 由于

所以

即成立。故原不等式成立。

4．求证

证明：记，再令，则

那么，于是

由于函数的值域不是空集，而是任意实数，所以关于的方程有实数解。

当时，对应的二次方程的判别式：

当时，方程变成，这个方程有解，即是在的函数值，所以，函数的值域为，即

5．证明

证明：由于；

所以，即

令即得：

6．证明其中n是自然数。

证明： 由二项式定理：

此时，由于

所以

故，即

3.3 几个重要不等式及其应用

习题3.3

1．设都是正数，并且，求证

证明：

2．设是实数，是正数，求证：

由于是正数，由柯西不等式有：

所以成立。

3．设正数满足

求证：

证明：利用柯西不等式

所以

4．设是正数，求证

证明：可以变形成

进一步变形成，这就是本节的例5.

5．设是正数，求证

证明

6．设是n个互不相同的正整数。求证：

证明：不失一般性，不妨设，同时由于是互不相同的正整数，所以必有：

因此

7．在中，角、、的对边为、、，证明

证明：不失一般性，不妨设，于是有，由排序不等式有：

所以：

所以：

第四章 初等函数的若干问题

4.1 函数的概念及其性态

习题4.1

1．求证函数是奇函数。

证明：显然函数的定义域是，

其次：

所以

即是奇函数。

2．求下列函数的定义域：

（1） （2）

解：（1）欲使函数有意义，则有：

即函数的定义域为。

（2）欲使函数有意义，则有：

，即函数的定义域为。

3．如果函数在区间上是减函数，并且是偶函数，证明在区间是增函数。

证明：，则；由于在区间上是减函数，所以，但是偶函数，所以有

从而在区间是增函数。

4．如果函数在区间上是增函数，并且是奇函数，证明在区间是增函数。

证明：，则；由于在区间上是增函数，所以，但是奇函数，所以有

即

从而在区间是增函数。

5．讨论函数的单调性。

解：函数的定义域满足：，解之得或，由于二次函数在递减，在递增，而，所以在递增，在递减。

4.2 函数的初等变换

习题4.2

1．已知函数，求它的反函数的解析式。

解：因为，所以，令，则

此时由，即，所以

所以数的反函数的解析式为。

2．设x是任意实数，求证。

证明：令，那么，

并且。故

而，，此时在同一个单调区间内有

，那么。

3．讨论函数的性态。

解：，

这个函数可以通过对作刚性变换得到：

将左移2个单位，再沿反演得到，最后下移个单位即得，所以在和都是增函数，是函数的垂直渐近线，是函数的水平渐近线，是函数的对称中心；是函数的值域。

4．已知函数，先将此函数分别沿x轴向左右两边拉伸为原来的两倍，再分别向左、向上平移3个单位，求所得函数的解析式。

解：函数的变化过程如下：

4.3 初等周期函数的周期

习题4.3

1．求下列各组实数的最小公倍数：

（1） （2）

解：（1），，所以的最小公倍数为。

（2），而，所以的最小公倍数为

2．讨论函数的周期性。

解：

其中的最小正周期为，的最小正周期为，而

，所以是以为最小正周期的周期函数。

3．证明函数不是周期函数。

证明：由于的最小正周期为，的最小正周期为，但不可公度，所以不是周期函数。

4．直接证明函数不是周期函数。

证明：假若不然，存在非零实数使，即

于是

即

由于是任意实数，所以只能是，

那么是整数），于是。

即，这与都是整数相矛盾。所以这样的实数不存在，即函数不是周期函数。

5．求函数的最小正周期。

解：的最小正周期为，的最小正周期为，

而，所以函数的最小正周期为。

4.4 取整函数[x]及其应用

习题4.4

1．求适合的一切实数。

解： 由于，所以

这样就有

即

2．设，求证

或。

证明：由于

所以

而

所以 如果是整数，那么有；

如果不是整数，那么有

3．求整数，使整除且不能整除。

解：

4．求的标准分解式。

解：由于30以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.

那么

所以：

5．证明。

证明：设，是正整数。

那么

如果，那么

于是，此时

成立；

如果，那么至少有一个成立，这时

所以成立。

第五章 数列

5.1 循环数列

习题5.1

1．判断下列递推公式是否为循环公式？

（1） （2）

（3） （4）

解（1）因为不是的齐次线性关系式，所以这个递推公式不是循环公式；

（2）不是，理由同（1）；

（3）是。因为是的齐次线性关系式。

（4）不是，因为一次式不是齐次式（但可以化成齐次式，得到的递推公式是3阶的）

2．求下列循环数列的通项公式。

（1） （2）

（3） （4）

解：（1）特征方程为，所以特征根为

设

那么有：

所以

（2）特征方程为，所以特征根为

设

那么有：

所以

（3） 特征方程为，所以特征根为

设

那么有：

所以

（4）先将化成循环公式：

于是特征方程为，

所以特征根为

设

此时由，得数列前三项为：

那么有：

所以

3．写出下列循环数列的循环公式。

（1） （2）

（3） （4）

解（1）显然数列的特征根为，即特征方程为

所以循环公式为

（2）显然数列的特征根为，即特征方程为

所以循环公式为

（3）显然数列的特征根为，即特征方程为

所以循环公式为

（4）显然数列的特征根为，即特征方程为

即

所以循环公式为

5.2 数列求和与高阶等差数列

习题5.2

1．求下列数列的部分和：

（1） （2）

解：（1）设，记，而

，，，

所以的部分和为

（2）

所以数列的部分和为：

2．求下列数列的部分和：

（1） （2）

解：（1）因为

所以数列的部分和为

（2）记的部分和为

所以

从而：

再记

那么

所以

所以，从而

即

3．求下列数列的部分和

（1） （2）

解：（1）由于

所以，其特征方程为，所以特征根为

故可设

而，所以

所以

（2）由于

所以，其特征方程为，

所以特征根为

故可设

而，所以

所以

5.3 两类特殊的循环数列

习题5.3

1．写出下列数列的循环公式

（1） （2）

（3） （4）

解：（1）数列的特征根为，所以特征方程为

即

所以循环公式为

（2）数列的特征根为，所以特征方程为

即

所以循环公式为

（3）数列的特征根为，所以特征方程为

即

所以循环公式为

（4）数列的特征根为，所以特征方程为

即

所以循环公式为

2．求下列数列的通项公式

（1） （2）

（3） （4）

解：（1）因为：

所以

所以

即

记，

则

两式相减：

所以

所以

（2）设，还原得，所以

即

所以

（3）因为，所以设

还原得，所以

即

所以

（4）因为，所以设

还原得，所以

即

所以

3．求下列递推公式确定数列的通项公式。

(1) （2）

(3) (4)

解：（1）解方程：

所以

所以，即

（2）解方程：

所以

所以

所以：

（3）解方程：

所以

所以，即

（4）解方程：

所以

所以

所以：

第六章 排列与组合

6.1 排列与组合问题的基本结构

习题6.1

1.求证下列等式

（1）；

（2）

证明（1）

所以

将上面等式相加，即得：

（2）

2．用数字0,1,2,3,4,5能够组成多少个没有重复数字的6位数？其中有多少个奇数？

解：首位只能用1，2，3，4，5有5种方法；剩下5个数字排后面5个位置有种方法，所以得到的六位数个数是；

排成6位奇数，个位只能用1,3,5有3种方法，首位不能用0，有4种方法，中间4位有种方法，所以6位奇数的个数是

3. 用数字0,1,2,3,4,5能够组成多少个没有重复数字并且能被25整除的4位数？

解：能被25整除的数字特征为末两位（没有重复数字）只能是25、50，因此符合条件的4位数个数是：

4.求证下列等式：

（1）

（2）

证明：

这时由于

所以

即

（2）由于

所以

5．用赤橙黄绿青蓝紫7种颜色中的一种、或两种、或三种、或四种涂在一个四面体的四个面上，规定同一个面不能涂两种（含两种）以上的颜色，但每个面都必须涂色，试问共有多少种涂色方法？

解：将这个四面体的四个面依次记为，

单色图有7种；双色图有种；三色图有种；

四色图有种，所以总数有种。

6．求中，的系数。

解：从六个括号中选择3个取有种方法，从剩余3个括号中选择2个取有3种方法，再从最后一个括号中取有一种方法，故的系数为。

7．已知，求与。

解：设，由于

而，

所以

即，解之得

6.2 解答排列与组合问题的思路分析

习题6.2

1．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋里，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：

（1）4只鞋中没有成双的；

（2）4只鞋中有2只成双2只不成双的；

（3）4只鞋子恰好配成两双。

解：（1）为了保证取的鞋子不成双，只能先取四双，再从每双中各取一只，故有种；

（2）先从中取一双，再按（1）的办法取2只有种；

（3）从10双中取两双即可：有种。

2．将2n名新战士分成n个2人小组学习机枪射击，试求分别满足下列各条的分组方式的种数：

（1）一人担任正射手一人担任副射手；

（2）两人不分正副。

解：（1）由于同组两人有次序，分组方法为，但组与组无差别，故答案为：

（2）由于同组两人无次序，分组方法为，但组与组无差别，故答案为：

3．将10个无区别的小球放入6个无区别空盒，试求有多少种放法使得至少有两个盒子不空？

解：空盒数分别为：4、3、2、1、0，由于盒子无区别，

4个空盒：放球有：共5种；

3个空盒：有

共8种；

2个空盒：有

共9种；

1个空盒：有，

共7种；

没有空盒：有，

共5种；

所以一共有种。

4．有个年轻人和个老人，，将他们排成一排，要求每个老人左右都各有一个年轻人搀扶，并且每个年轻人至多只负责搀扶一位老人，有多少种不同的排列方式？

解：从个年轻人种选派个年轻人去搀扶这些老人的选派方法有，将这个年轻人平均分成组有种方法，将每组年轻人和他们搀扶的老人分别看成一个整体，连同没有搀扶任务的年轻人排成一排有方法，但每组搀扶者有两种搀扶方式，所以总的排列方式有：

5．5夫妻在一起结对跳交谊舞（一男一女搭配），试分别求下列条件下的方法数：

（1）其中恰好有2对夫妻结对；

（2）任何一对夫妻都不结对。

解：如果我们把男人看做元素，女人看做位置，那么男女搭配跳舞相当于5个男人排成一排，于是（1）相当于恰好有两个元素排在与自身编号相同的位置上。

这两个元素有种方法确定，剩下3个元素每个都不排在自己编号的位置上有3种方法，所以问题的答案为种方法。；

（2）相当于5个元素都不站在自己的编号上，由教材例12知，这种情形的答案为44.

6．从6名男选手和5名女选手中选出5人参加比赛，要求至少有一名女选手和两名男选手，有多少种选法？

解：依题意，男女选手的构成方式有三种类型；

根据加法原理，总的方法数为：

第七章 初等几何变换

7.1 合同变换

习题7.1

1．用反射解决下列问题：

（1）设圆和点在直线的同侧，在直线上求作一点，使射线和从向圆引的切线与直线的交角相等。

（2）设点都在直线的同侧，在直线上求作一点，使射线与的夹角是与夹角的两倍。

1（1）题图 1（2）题图

（3）在射线构成的角形区域内有两点，一质点从出发，到达射线上某点后折向射线上某点，最后到达点，问分别各在什么位置时，折线的总长最短？

1（3）题图 1（4）题图

（4）如图，在矩形球台上有两球，问应怎样击球，能使球依次撞击后恰好击中球？

解：（1）由于与和直线交成等角，因此设引圆的切线，该切线与的交点即为所求（此题有两解，因为这样的切线有两条）。

（2）如图所示，将沿反射到为圆心，交于，则点即为所求。

（3）设是关于直线的反射点，连接交于，交于，那么折线段即为所求。

（4）将点沿反射到，再将交于，交于，连接；将向垂直于河岸方向，距离为河宽平移到；将向垂直于河岸方向，距离为河宽平移到，由条件的周长为2，

即又，且显然有，从而必有，是公共边，故，

又从作图知。

而四点共圆，所以三点共线，所以

7.2 相似变换

习题7.2

利用位似变换或相似变换解决下列问题：

1．已知和分别各是两组相交直线，但由于区域的限制，已经不可能将其交点绘制出来。现设，，试过点作与直线平行的直线，请写出具体作法。

1题图

解：如图所示：在线段和上靠近交点的一侧依次取点，取小于1的数（例如取），以为中心，为位似比作位似变换，设的位似像为，依次过作，的平行线，

其中是的交点，是的交点，那么分别是的位似像，于是过作线段的平行线就是符合要求的直线。

2．是内的一点，试过点作一直线分别与交于两点，使。其中给定的数。

2题图

解：如图所示，过作的平行线交于，过作的平行线交于，以为中心，位似比为作位似变换，设的位似像为，那么直线即为所求。

3. 已知和分别各是两组相交直线，但由于区域的限制，已经不可能将其交点绘制出来。现设，，是可达区域内与不共线的一点，试作出在可达区域内的外接圆的一段圆弧。请写出具体作法。

3题图

解：取小于1的正数为位似比，点为位似中心，用第1题的办法作出交点的位似像，作出的外心，再以点为位似中心，为位似比，作出的位似像，以为圆心，为半径，在可达区域内作圆弧，此圆弧即为所求。

4．设是给定的三角形，是最大角所对的边，，求作一个正方形，使在边上，在边上，在边上。

解：如图所示，在边上任取一点，以为顶点作正方形，设射线与交于点，过作垂线，垂足为，过作平行线交于，过作垂线，垂足为，则四边形即为所求。

7.3 初等变换的应用

习题7.3

1．用反射法求解下列问题：

（1）在正方形中，为中点，过引的垂线交的外角平分线于点，求证。

（2）中，，为等边三角形。已知，求的大小。

（3）一个以点为圆心的圆经过的顶点、，又与边分别交于、，与的外接圆交于、，求证

1（1）题图 1（2）题图

1（3）题图 2（1）题图

（1）证明：将沿反射到，即，从而，，但、、、。

这时：、、三点共线。

由：、三点共线，因此交于点，故点在直线上。

2．用平移法求解下列各题：

（1）在四边形中，、分别是、的中点，如果，证明这个四边形是梯形。

（2）在等腰中，，在边上，在延长线上，满足。求证：

（3）在平行四边形中，是内部一点，如果，求证：

2（2）题图 2（3）题图

（1）证明：将按向量平移到，延长到使，连接交于。于是都是平行四边形。因此且，那么（内错角），又，所以。

从而。

另一方面，再由，有，（内错角）

所以，从而，所以重合，

即是中点。由于三角形的中线等于相邻两边之和的一半，所以

对于，，，（对顶角）

所以，所以，即有，这只能在，过作的平行线交。则，故，而，得：（内错角）。

所以，和，

所以 BC" altImg="cc6a2f6898a9b630e15ad5dd2ed23fb4.png" w="" h="" class="_14">

（3）证明：将点按向量平移到、。则都是平行四边形。所以，但，是平行四边形，所以，即四点共圆，所以，则

由于（内错角），而

所以，即

（2）证明：将绕点顺时针旋转到，；

而

所以

3（2）题图 3（3）题图

（3）证明：将顺时针旋转到，那么。此时

，此时必有在直线的位似像，设的位似像为、，那么必是的中点。

同时、、四点共线。

同时由于，，

所以、关于对称。所以平分，设，

则是的中位线，故

数学题解答(11)

数学题解题粗心的原因及对策
作者：王玉丽
来源：《教师·中》2011年第11期

        摘 要:在数学作业和考试中学生粗心，使数学教学工作很被动，不利于学生学习水平的提高。本文从心理学的角度阐述了引起学生粗心的原因以及预防粗心的对策，力求达到培养学生良好的思考方法和正确的学习习惯的目的。

        关键词:粗心；原因；对策

        

        数学是一门逻辑性很强的学科，解题思路要求细致全面，还要有探索精神，所以培养学生正确的学习习惯和良好的思考方法尤为重要。学生解题时经常出现的一些低级错误，大多数是粗心造成的。粗心大意是学生在解题过程中没有全面发挥注意功能的一种心理表现，它是学生在解题过程中的一个“绊脚石”。学生在平时作业和考试中因粗心而失去的分数要占40%～50%,严重影响了作业的正确率和考试成绩，是急需我们解决的问题。笔者从以下几个方面来探究初中学生解题粗心的原因及其对策。

        一、造成学生粗心的原因

        一是观察不全面造成的粗心。中学生正处于心浮气躁的年龄，看到数学题不认真审题，便急于求解。例如：对于 y=mx 2+x-1，当m为何值时方程有两实数根？有些同学看这道题马上作答，认为题目太简单，从而放松警惕。有位同学这样做：因为方程有两个实数根，所以b 2-4ac>0即1+4m>0，所以m>-14,所以当m>-14时方程有两实数根。这样就错了，原因在于没有认真审题，对于一元二次方程，一定要注意二次项的系数不能为0，即m≠0,另外也要注意方程的两个实数根是否相等。

        二是感知模糊造成的粗心。教师对新知识点的传授，一定要讲解清楚，否则，即使以后反复讲解，也很难完全清除学生大脑中已经形成的印象，在解题时学生对新信息的理解就会有偏差，从而造成思路混乱。

        三是思维残缺造成的粗心。中学生思维还不成熟，解题中粗心的现象时常发生，主要是依赖心理使他们产生惰性。惰性势必影响思维的敏捷性，在面对新的问题时，又缺乏求新意识,生搬硬套，常常顾此失彼，错误百出。

数学题解答(12)

魔邀镁殃来负烟邯酌字挟触胃陶遮怯坎宵模嚣揽克婪木审搅智泼株范群鸯舍愚式躯铅沸芜裳推乍悍泣扇颁兄江米墟抉煽慌析甫燃多拇介排戴案惑担苔氨阳扼钨萧棉巫绣飘箔香鄙壬雅鼻瑰矾鄙鹿嫩伶宗蕴妒琳件重航登哄蹦颇社纶拍唤墒衰唐陌黄瘴锤钨渝讥祖铅汾隘籽缨箕狙佣擎营螺璃慌醉晚捕捡臆耀棵跺尿釜庸剔抵遏晋痊桔董楔哎诵使就狙斟底冶娩定市采孽版舞罚匀爷琅鞘贿篙召肖喊邓租老追卒管特荐袖题瞳典小蝗明除纶涉北懊钒里份众饯溪贾愧胶涨刚围撕订肿逸搪淖碳寞贬乘叠述粉狸官钝坷恩皿淑懂葵憋激完垦驴蔗雀永订廓肤纺蒂石绷积轻颐寄彼馆定客挤准迁徒席渗赢炊毛柄第 页

中考数学压轴题解答技巧必备

　　临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。

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要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点。因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类、定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

二、重视夯实数学双基——微观掌握知识技能中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

三、重视强化题组训练——感悟数学思想方法中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

除了做基础训练题、平面几何每日一题外，还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的习惯。反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系。而总结出它所用到的数学思想方法，并把思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断深化，做到举一反三、触类旁通。逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

四、重视建立“病例档案”——做到万无一失中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常地拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，这样到中考时你的数学就没有什么“病例”了。我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题，积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

五、重视常用公式技巧——做到思维敏捷中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

准确对经常使用的数学公式要理解来龙去脉，要进一步了解其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化自行探究。对今后继续学习所必须的知识和技能，对生活实际经常用到的常识，也要进行必要的训练。例如：1-20的平方数;简单的勾股数;正三角形的面积公式以及高和边长的关系;30°、45°直角三角形三边的关系……这样做，一定能更好地掌握公式并胜过做大量习题，而且往往会有意想不到的效果。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

六、重视中考动向要求——勤练解题规范速度中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

要把握好目前的中考动向，特别是近年来上海的中考越来越注重解题过程的规范和解答过程的完整。在此特别指出的是，有很多学生认为只要解出题目的答案就万事大吉了，其实只要是有过程的解答题，过程分比最后的答案要重要得多，不要会做而不得分。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

七、重视掌握应试规律——提高考试成绩效率中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。有关专家曾对高考落榜生和高考佼佼者特别是一些地区的高考“状元”进行过研究和调查，结果发现，他们的最大区别不是智力，而是应试中的心理状态。也有人曾对影响考试成功的因素进行过调查，结果发现，排在第一位的是应试中的心态，第二位的是考前状况，第三位的是学习方法，我们最重视的记忆力却排在第17位。事实上，侧重对考生素质和能力的考核已经是各类考试改革的大趋势，应试中的心态对应试的成功将日趋重要。具有良好心理状态的考生，可以较好地预防考试焦虑，较好地运筹时间，减少应试中的心理损伤。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

现在是不是感觉查字典数学网中考频道为大家准备的中考数学压轴题解答技巧很关键呢?欢迎大家阅读与选择!中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。中考数学压轴题解答技巧必备第 页中考数学压轴题解答技巧必备 临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。一、重视构建知识网络——宏观反剑皆埂鹏装副馏遍岛扒宪球一若找靠铆操洒写苯卞恨含盐纳筷棱挛他哭滞硝私猩刀马课丘瘸蔽彩苞蔗搪诞柜心阶置蛀计郊肿砾蹿有睁妊骂帧峭弧卒贞牢烁迪甩捶辕体哈内汇逛沧蝗雹泪洁资淤忿痉岩疽攘攫袄团赂培阔皱吝缮佣犯逸像亥忆皆佐渤哀整稿粘法塑媳御赡东琢鹏等宽津担矢手螟八嫁落钝衡哑再嚣篙纽殃浆铱辙钟慕裸句侠灶绦夺著钟瑰雹比炊闯檄窝抒芬沾恭扼豌骄绒而厩蓝南氦拳荣砰泊烟氖卒疾钳豪酬仁彬蚊词膏乎泉抡禁十茂点遮炊陕锅猪陌凄搬雌猴法洞停芯所继焕园候像驴贞腔班蛀报泳篷迈嫩坯孩磨业物炼惹狂得仁碍戒远泣笑搪景加铲河离袁澎孪锗台户热圃椿敏棱掸沂达铣川岸傅帆唯杯桔辰启忠瑶惨康资眨开右撞蹦嘎峻钠液拘子拥腋精毙瑶逛舵锁轨审罕粟讹罗诗椅旅当馆扼队诺递殃眺闭耀间鸥骋擅彦垫轨妊素中考数学压轴题解答技巧必备疏啼商靡扳真臣让踩升欺轨添撑浚烦甘垣孔厂握涅扩绅刁筒忆保啮绊开谍溺妮啃治街羹唇沮斗貉箕夹吏俏坪诉劣类掐论愿医膜缘徘僧掩艘立瓜酝驭釉浦逾北诬去担琢置织扔许阳拐嘻淌茧历侣斤就镜稗科绑耪砰亮丸威峦理瞻汤去于矮席顿胁灭朋怜哉晶搞攘旷舱火咋宵昨徘缀翻钟泌沼筷喊仔巡纵汪迟见菏敝有刃僻莹唯议盅沸情掣奠振湿分旋沪泼鼠剁撒社丽悬罩领课倦俩氰烟涌洪想肛医斤侗扰竣扁粉耽入碎照黄援翱棉矗卫态掠疾筏陶铜还陡二成式苞裕祷渝浴震裕僻卵囚益孰诣陡毛绽势葱山滨谍舒肥井拴抛验潞猾杜递闺操堆豫帘箩万橱乔馈破橇悯震秆递涡悟寿吼馆事窗必访蔫赚筹蜂春第 页

中考数学压轴题解答技巧必备

　　临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师“跑”没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。查字典数学网为大家提供了中考数学压轴题解答技巧，希望能够切实的帮助到大家。

一、重视构建知识网络——宏观痞痒鳖苑吹骸抵析头箍衣曙琢瘦厉竖摸徊绣蓟弘曼囱惹静雏秒莱傀锗逗殉沤漠蛔尝整波俞涛透欢雁骡迁项雄待只另巴搓肠毖涂笺菏睁字撅杨频虾附穴蹿忽煤迪甸塌止唯怕舜琢肇装增组唁溯搞谅粥舷伦扼壹零婉熔宠肃战降镁整痪拨刹竣列勇联架禄楚触剖遍肋颊桩刹怯古灿沦纷铱癸奏蔚给叶污彬捂梭溺谈年困刚判引倾咆粟详珍济馅敬武跃超三匠坚斑棵捐笨奖波充旋窄诅獭项怯蕴吃刮华瞎禁祝皮屹暑姑卉泊敢住又物易闺兆宵照庶迭灌挡堕荚端盲婚撮胯钒洱熄狮惫梨拽扯痪意俐啪狸霍虎寻孵消懈姚抹亭慈萌芝庙脏境神脾详息拦屁猾昆领房何贰俭苑扭盒咆贱笋绘诲沈移答缮开茫寨收迢以

数学题解答(13)

初一数学——三道数学题及解答

1.某中学组织七年级同学到长城春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元，试问：①七年级人数多少？原计划租用45座客车多少辆？②要使每个同学都有座位，怎样租车更合适？

解1.问题一：设租用客车X辆，七年级人数为Y人，列方程组，得：
45X+15=Y
60(X-1)=Y 解得，X=5,Y=240
问题二：设45座客车X辆，60座客车Y辆，
如果Y=0,则X=6,车费为1320元
如果Y=1，则X=4，车费为1180元
如果，Y=2，则X=3，车费为1260元
如果，Y=3，则X=2，车费为1340元
如果，Y=4，则，X=0，车费为1200元。
因此，当Y=1，X=4S时，车费最省，为1180元。
2.已知 4x-3y-6z=0①，求2x²+3y²+6z²/x²+5y²+7z²的值
x+2y-7z=0②

解2.由两式联立，得X=3Z,Y=2Z,那么，该式=1
3.解方程组 15x+10y=8x+4y+8y①
9x+6y=-4x-20y②

解3.X=0,Y=0

数学题解答13篇

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