圆锥侧面积9篇

圆锥侧面积9篇

圆锥侧面积(1)

初中数学《圆锥的侧面积》教案

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 　　3.8圆锥的侧面积

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 本节课的内容是圆锥的侧面积，首先让学生通过观察圆锥，认识到它的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，然后再思考，圆锥的曲面展开图在平面上是什么样的图形，最后经过学生自己动手实践得出结论：圆锥的侧面展开图是一个扇形，把圆锥的母线、底面半径和展开图中的半径之间的关系找出来，根据上节课的扇形面积公式就可求出圆锥的侧面积，进一步运用公式进行有关计算．

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。 让学生先观察圆锥，再想象圆锥的侧面展开图，最后经过自己动手实践得出结论这一系列活动，可以培养学生的空间想象能力、动手操作能力、归纳总结能力，使他们的手、脑、口并用，帮助他们有意识地积累活动经验，使他们获得成功的体验．

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 对于学生的观察、操作、推理、归纳等活动，教师要进行鼓励性的评价，使他们能提高学习数学的信心和决心．

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

(二)能力训练要求

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．

2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．

(三)情感与价值观要求

1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．

2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．

教学重点

1. 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

教学难点

经历探索圆锥侧面积计算公式．

教学方法

观察想象实践总结法

教具准备

一个圆锥模型(纸做)

投影片两张

第一张：(记作3．8 A)

第二张：(记作3．8 B)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]大家见过圆锥吗?你能举出实例吗?

[生]见过，如漏斗、蒙古包．

[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗?请大家互相交流．

[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．

[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢?应怎样计算它的面积呢?本节课我们将解决这些问题．

Ⅱ．新课讲解

一、探索圆锥的侧面展开图的形状

[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．

[生]圆锥的侧面展开图是扇形．

[师]能说说理由吗?

[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．

[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗?[

[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．

[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢?下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的?

[生]是扇形．

[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢?这将是我们进一步研究的对象．

二、探索圆锥的侧面积公式

[师]圆锥的侧面展开图是

一个扇形，如图，设圆锥的母

线(generating line)长为l，

底面圆的半径为r，那么这个圆

锥的侧面展开图中扇形的半径即

为母线长l，扇形的弧长即为底

面圆的周长2r，根据扇形面积公式

可知S＝ rl＝rl．因此圆锥的侧面积为S侧＝rl．

圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全 面积(surfacearea)，全面积为S全=rl．

三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．

投影片(3．8 A)

圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到0．1cm2)

分析：根据题意，要求纸帽的面积，

即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的

周长，从中可求出底面圆的半径，从而

可求出扇形的弧长，在高h、底面圆的半

径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾

股定理求出母线l，代入S侧=rl中即可．

解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为lcm，则r= ,

l= 22．03cm，

S圆锥侧=rl 5822．03=638．87cm2．

638．8720＝12777．4 cm2．

所以，至少需要12777．4 cm2的纸．

投影片(3．8 B)

如图，已知Rt△ABC

的斜边AB＝13cm，一条

直角边AC=5 cm，以直线

AB为轴旋转一周得一个几

何体．求这个几何体的表

面积．

分析：首先应了解这个几何体

的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S侧＝ R2或S侧=rl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在Rt△ABC中，由OC、AB=BC、AC可求出r，问题就解决了．

解：在Rt△ABC中，AB＝13cm,AC＝5cm，

BC=12 cm．

∵OCAB＝BCAC，

r=OC= ．

S表=r(BC+AC)= (12+5)

= cm2．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．

Ⅴ．课后作业

习题3．11

Ⅵ．活动与探究

探索圆柱的侧面展开图

在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高．

圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的．

如图，把圆柱的侧

面沿它的一条母线剪开，

展在一个平面上，侧面

的展开图是矩形，这个

矩形的一边长等于圆柱

的高，即圆柱的母线长，

另一边长是底面圆的周长，

所以圆柱的侧面积等于底

面圆的周长乘以圆柱的高．

[例1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知AD=18 cm，AB＝30 cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1 cm2)．

解：如图(2)，AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱的母线，设圆柱的表面积为S，则S=2S圆+S侧．

S=2( )2+2 30=1622204 cm2．

所以这个圆柱形木块的表面积约为2204 cm2

板书设计

3.8圆锥的侧面积

一、1．探索圆锥的侧面展开图的形状，

2．探索圆锥的侧面积公式；

3．利用圆锥的侧面积公式进行计算．

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

备课资料

参考练习

1．圆锥母线长5 cm，底面半径为3 cm，那么它的侧面展形图的圆心角是…( )

A．180 B．200 C. 225 D．216

2．若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )

A．180 B. 90

C．120 D．135

3．在半径为50 cm的图形铁片上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制做成一个底面直径为80 cm，母线长为50 cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角的度数为( )

A．288 B．144 C．72 D．36

4．用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 ( )

A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。

要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?答案：1．D 2．C 3．C 4．B

圆锥侧面积(2)

辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积

一、弧长和扇形的面积：

『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l = .

『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式为：S= .

『活动三』扇形面积的另一个计算公式

比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=πR2化为S=·R，从面可得扇形面积的另一计算公式：S= .

word/media/image4_1.png二、圆锥的侧面积和全面积：

1．圆锥的基本概念： 的线段SA、SA1……叫做圆锥的母线，

的线段叫做圆锥的高．

2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：

word/media/image5_1.png将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ．

3．圆锥侧面积计算公式

圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，

这样，S圆锥侧=S扇形=·2πr · l = πrl

4．圆锥全面积计算公式

S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr（l ＋r）

三、例题讲解：

例1、（2018•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ．

例2、（2018年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

例3、（2018广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．

（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；

（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．

四、同步练习：

1、（2018北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为： （ ）

A．10π B．word/media/image10_1.png C．word/media/image10_1.pngπ D．π

2、（2018北海,12，3分）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了： （ ）

A．2周 B．3周 C．4周 D．5周

3、（2018湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．

A． B． C． D．

4、（2018四川内江，8，3分）如图2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（ ）

A．4π B．2π C．π D．

5、（2018·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０，则圆锥的侧面积为________.

6、（2018·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8word/media/image22_1.png，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．

7、（2018江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为 cm2．

8、（2018四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）

9、（2018年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 .

10、(2018广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=word/media/image24_1.png，∠ACB=90o，∠A=30o，若△RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．

11、（2018•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是　 　．

12、（2018贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则

（1）BD的长是 ；（5分）

（2）求阴影部分的面积. （5分）

13、（2018浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,

点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.

14、（2018年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．

15、（2018甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.

（1）请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.

（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C 、D ；

②⊙D的半径= （结果保留根号）；

③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）；

④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.

参考答案：

例1、考点：圆锥的计算。专题：计算题。

分析：先计算出底面圆的周长，它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，而母线长为扇形的半径，然后根据扇形的面积公式计算即可．

解答：解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，

∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π．故答案为：2π．

点评：本题考查了圆锥的侧面积公式：S=．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．

例2、考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

专题：几何图形问题．

分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠DBC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；
（2）根据S阴影=S扇形AOD-S△AOD即可求解．

解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°．
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴ = = ，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，∠DBC=90°又在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+ BC=15∴BC=6∴此圆的半径为3．
（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA•cos30°= S△AOD=×3×=．
∴

点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．

例3、考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算

分析：（1）根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2；

（2）首先根据题意求得扇形BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧错误！未找到引用源。与弦AB围成的图形的面积．

解答：解：（1）如图：

∴⊙P与⊙P1的位置关系是外切；

（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，

∴S扇形BP1A= =π， S△AP1B= ×2×2=2，

∴劣弧 与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．

点评：此题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的求解方法．题目难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

四、

1、【解析】△ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，根据弧长公式，可求路径长为word/media/image10_1.png

【答案】C

【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理（求AC），图形的旋转，弧长公式。中等难度的题型。

2、【解析】三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360°。所以⊙O自转了4圈。

【答案】C

【点评】本题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。

3、【解析】图中阴影部分的面积等于：三角形AOB面积－扇形AOB面积，不难知道，∆AOB为等边三角形，可求出∆AOB边AB上的高是，扇形AOB圆心角∠O＝60°，半径OA＝，从而阴影部分的面积是×2×－＝，故选A．

【答案】A

【点评】本题着重考查了扇形面积的计算及解直角三角形的知识，以及转化、数形结合思想，有一定综合性，难度中等．

4、【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE＝，而∠COB＝2∠CDB＝60°，所以OC＝＝2，OE＝OC＝1，接下来发现OE＝BE，可证△OCE≌△BED，所以S阴影＝S扇形COB＝π·22＝．

【答案】D

【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．

5、【分析】S侧=πrl=π·×10=50π.【解答】50π

【点评】圆锥的侧面积S侧=·2πr·l=πrl（其中r是圆锥底面圆的半径，l是母线的长）.

6、【解析】本题考查圆锥展开图及侧面积计算公式.设半径为r，圆锥侧面积即展开图扇形的面积，根据S扇=lR,即8π=×2π×4，得r=2.【答案】2

【点评】在解决圆锥的计算问题时，要把握好两个相等关系：圆锥侧面展开图（扇形）的半径R等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．几乎所有圆锥计算问题都是从这两个对应关系入手解决的．

7、【解析】根据圆锥的侧面积公式=πrl计算，此圆锥的侧面积=π×2×5=10π【答案】10π

【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

8、解析：圆锥的侧面积可由公式来求，这里R=6，l=8π，因此S=24π。答案：24π

点评：本题考查了圆锥的侧面展开及其侧面积的求法，初步考查学生的空间观点，注意本题不要与全面积相混淆。

9、分析：首先连接OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC的度数，又由圆周角定理求得∠NMB的度数．

解答：解：连接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC，∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°，∴cos∠BOC=，∴∠BOC=60°，∴∠NMB= ∠BOC=30°．故答案为：30°．

点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

10、思路导引：确定路线长度，由于路线是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键，＋；

解析：计算斜边长度是2，第一次经过路线长度是，

第二次经过路线长度是，

第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是，

所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是

＋2×（）=＋＋2×=＋

点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.

11、考点：圆锥的计算。专题：计算题。

分析：算出围成圆锥的扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高．

解答：解：围成圆锥的弧长为 =4πcm，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=1cm．故答案为1cm．

点评：考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长．

12、解析： （1）由CA切⊙O于A，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°=；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD的面积.

解：（1）填；

（2）由（1）得，AD=BD.

∴弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=△ACD的面积.

∵CD=AD=BD=，∴S△ACD=CD×AD=××=1，即阴影部分的面积是1.

点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.

13、【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得∠ABC=∠D =60°。

（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180°，得出∠BAC的大小，继而得出∠BAE的大小为90°，即AE是⊙O的切线。

（3）由题意易知，△OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。

20．解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角

∴∠ABC=∠D =60° …………2分

（2）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° …………………………3分

∴∠BAC=30°∴∠BAE =∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90° …………………4分

即BA⊥AE ∴AE是⊙O的切线 …………………………………………………………5分

（3） 如图，连结OC∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形

∴OB=BC=4 , ∠BOC=60°∴∠AOC=120°…………………7分

∴劣弧AC的长为 …………………………………………8分

【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180°。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等．

14、【解析】阴影部分的周长包括线段AC+CD+DB的长和弧AB的长．由折叠的性质可知，AC+CD=OA=6;DB=OB=6.故周长可求．求面积需要连接OD,证明△ODB是正三角形，得到∠CBO=30°，求出OC的长，阴影部分的面积=-2.【答案】解：连接OD．

∵OB=OD,OB=BD∴△ODB是等边三角形∠DBO=60°∴∠OBC=∠CBD=30°

在Rt△OCB中，OC=OBtan30°=．∴

∴

有图可知，CD=OC,DB=OB弧AB+AC+CD+DB=2×6+6=12+6

【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

15、考点：垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系；圆锥的计算；作图—复杂作图.

分析：（1）根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；

（2）①利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；

②在直角△OAD中，利用勾股定理即可求得半径长；

③可以证得∠ADC=90°，利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积；

④利用切线的判定定理，证得∠DCE=90°即可．

解答：解：（1）①建立平面直角坐标系

②找出圆心

（2）①C（6，2）；D（2，0）

②2错误！未找到引用源。

③π（7分）

④直线EC与⊙D相切　

证CD2+CE2=DE2=25　　　（或通过相似证明）

得∠DCE=90°　

∴直线EC与⊙D相切．

故答案为：①C（6，2）；D（2，0）②2错误！未找到引用源。　③π

点评：本题主要考查了垂径定理，圆锥的计算，正确证明△DCE是直角三角形是难点．

圆锥侧面积(3)

圆锥侧面积(4)

新课标人教版初中数学《圆锥的侧面积》精品教案

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

(二)能力训练要求

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．

2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．

(三)情感与价值观要求

1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．

2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．

教学重点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

教学难点

经历探索圆锥侧面积计算公式．

教学方法

观察——想象——实践——总结法

教具准备

一个圆锥模型(纸做)

投影片两张

第一张：(记作§3．8A)

第二张：(记作§3．8B)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？

[主]见过，如漏斗、蒙古包．

[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．

[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．

[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．

Ⅲ．新课讲解

一、探索圆锥的侧面展开图的形状

[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．

[生]圆锥的侧面展开图是扇形．

[师]能说说理由吗？

[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．

[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？

[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．

[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？

[生]是扇形．

[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．

二、探索圆锥的侧面积公式

[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．

圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S全＝πr2＋πrl．

三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．

投影片(§3．8A)

圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2

分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．

解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝

l＝≈22.03cm，

S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87cm2．

638.87×20＝12777.4cm2．

所以，至少需要12777.4cm2的纸．

投影片(§3．8B)

如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．

分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S侧＝πR2或S侧＝πrl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在Rt△ABC中，由OC、AB＝BC、AC可求出r，问题就解决了．

解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，

∴BC＝12cm．

∵OC·AB＝BC·AC，

∴r＝OC＝．

∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)

＝π cm2．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．

Ⅴ．课后作业

习题3．11

Ⅵ．活动与探究

探索圆柱的侧面展开图

在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高．

圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的．

如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高．

[例1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知AD＝18cm，AB＝30cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm2)．

解：如图(2)，AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱的母线，设圆柱的表面积为S，则S＝2S圆＋S侧．

∴S＝2π()2＋2π××30＝162π＋540π≈2204cm2．

所以这个圆柱形木块的表面积约为2204cm2．

板书设计

§3．8 圆锥的侧面积

一、1．探索圆锥的侧面展开图的形状；

2．探索圆锥的侧面积公式；

3．利用圆锥的侧面积公式进行计算．

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

圆锥侧面积(5)

弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积

一、请准确填空

1.一个扇形的半径等于一个圆的半径的倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于_____度.

2.要修一段如图1所示的圆弧形弯道，它的半径是48 m，圆弧所对的圆心角是60°，那么这段弯道长_____m(保留π).

图1

3.半径为6的弧长等于半径为3的圆的周长，则这条弧所对的圆心角的度数是_____.

4.如图2，有一弓形钢板ACB，的度数为120°，弧长为l，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为_____.

5.直角三角形的两条直角边长分别为15 cm和20 cm，则该三角形的内切圆的周长为_____ cm.

6.扇形的圆心角为60°，面积为3π cm2，则这个扇形的内切圆半径为_____.

7.数学课上，小刚动手制作了一个圆锥，他量圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为8 cm，则它的侧面积应是_____ cm2(精确到0.1 cm2).

8.如图3，两个半圆中，长为6的弦CD与直径AB平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_____.

二、选择

9.在半径为R的圆中，一条弧长为l的弧所对的圆心角为

A.度 B.度 C.度 D.度

10.已知扇形的半径是12 cm，圆心角是60°，则扇形的弧长是

A.24π cm B.12π cm C.4π cm D.2π cm

11.如图4，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为

A.4－π B.8－π C.2(4－π) D.4－2π

12.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R，则它的弧长增加

A. B. C. D.

13.设三个同心圆的半径分别为r1、r2、r3，且r1>r2>r3，如果大圆的面积被两个小圆分成面积相等的三部分，那么r1∶r2∶r3为

A.3∶2∶1 B.9∶4∶1 C.2∶∶1 D.∶∶1

14.圆环的外圆周长为100 cm，内圆周长为80 cm，则圆环的宽度为

A. B. C. D.10π

15.如图5，一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至 A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上)

A.16π B.π C.π D.π

图5

16.若圆锥的侧面展开图是半径为a的半圆，则圆锥的高为

A.a B. C. a D. a

三、解答题

17.如图6，∠AOB=120°，的长为2π，⊙O1和、OA、OB相切于点C、D、E，求⊙O1的周长.

图6 图7

18.如图7，一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆.

求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比;

(2)锥角的大小(锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角);

(3)圆锥的侧面积.

四、生活中的数学

19.如图8，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是 ，绳子AC和BD所在的直线成30°的角.请你测算一下接触部分 的长.(精确到0.1 m)

图8 图9

20、中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学.1300多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形(如图9).经测量，桥拱下的水面距拱顶6 m时，水面宽34.64 m，已知桥拱跨度是37.4 m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高.(运算时取37.4=14，34.64=20)

五、探究拓展与应用

21.(9分)已知：如图10，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，若PA=2 cm，PC=1 cm，怎样求出图中阴影部分的面积S？写出你的探求过程.

图10 图11

22.(8分)如图11，一个直角三角形纸板，其两条直角边长分别为6 cm和8 cm，小明以纸板的斜边为旋转轴旋转这个三角形纸板形成如图11所示的旋转体.请你帮小明推算出这个旋转体的全面积.(π取3.14)

参考答案

一、1.120 2.16π 3.180° 4. 5.10π 6. cm 7.100.5 8.π

二、9.B 10.C 11.A 12.D 13.D 14.B 15.D 16.D

三、17.解：连接OC、O1E、O1D, 则O1在OC上, O1E⊥OB，O1D⊥OA, 设⊙O1的半径为r，

即O1E=r.

∵∠AOB=120°, ∴∠COB=60°,OE=OO1= (OC－O1C)= (OC－O1E).

又∵2π=, ∴OB=3. ∴OE= (3－r).

由OO12=O1E2+OE2,

∴(3－r)2=r2+ (3－r)2 , 得：r=6－9.

∴⊙O1的周长=2πr=(12－18)π.

18.解：(1)设此圆锥高为h，底面半径为r.

∵2πr=π·AC , ∴=2.

(2)∵=2, ∴圆锥高与母线的夹角为30°，则锥角为60°.

(3)∵h=3 cm，∴r=3 cm ，AC=6 cm.

圆锥的侧面积=AC2=18π cm2.

四、19.解：连接OC、OD，∴OC⊥AC，BD⊥OD.

∵AC、BD交角为30°, ∴∠COD=150°.

∴ 的弧长==25π.

20.解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O,

AB=37.4=14 m, CD=34.6=20 m, GE=6 m.

在Rt△OCE中, OE=OC－6, CE=10.

∵OC2=CE2+OE2, ∴OC2=(10)2+(OC－6)2.

∴OC=28(m) . ∴OA=28.

在Rt△OAF中，AF=7,

∴.

∴拱高GF=28－21=7(m) .

五、21.解：∵PA为切线，连接AC, ∴△PAC∽△PBA.

∴PA2=PC·PB . ∴PB=4.

∴AB=. ∴OA=.

∴∠B=30°. 连接O C . ∴∠AOC=60°,

S扇形OAC=, S△OBC=

∴S阴=S△APB－S扇OAC－S△OBC= cm2.

22.解：设AC=8 cm，BC=6 cm. ∴AB==10 cm.

作CD⊥AB，垂足为D.

∴BC2=BD·AB. ∴BD= CD=.

∴S=π·CD·AC+π·CD·BC =π·CD·(AC+BC)=3.14××14≈211.0 cm2 .

圆锥侧面积(6)

圆锥的侧面积和底面积

1、课前自主学习

1、圆锥是由几个面围成的？

2、什么是圆锥的母线？

3、圆锥有怎样的特征？

2、课堂合作探究

1、认识圆锥

（1）圆锥的母线：

圆锥的高：

（2）圆锥的侧面展开图是 这个扇形的弧长 圆锥底面周长

扇形半径 圆锥的母线长

圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长

（3）圆锥侧面积S侧=

圆锥全面积S全=

2、圆锥相关概念的考查

例1：

（1）圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，那么圆锥的侧面积是 cm2，全面积是 cm2。

解：

（2）若圆锥的侧面展开图是一个弧长为36π的扇形，则这个圆锥的底面半径是 。

解：

（3）圆锥底面半径为1cm，侧面展开图的面积为2πcm2，则圆锥的母线长 。

解：

（4）P14

总结：圆锥的母线R，圆锥的高h，圆锥的底面圆的半径r，常常构造一个直角三角形来解决问题，知其二求其一。

例2：蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（结果取整数）？

练习：P114练习2 P115练习8、9 P122练习13

3、快乐进阶

1、一个圆锥形的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为5cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸面面积是 。

2、将一个半圆围成一个圆锥的侧面，则两条母线间的最大夹角是 。

3、圆锥的侧面积是8πcm2，其轴截面是一个等边三角形，则该轴截面的面积是 。

4、已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为 。

5、圆锥的全面积和侧面积之比是3:2，这个圆锥的轴截面的顶角是 。

6、在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周，求所得几何体的表面积。

圆锥侧面积(7)

《圆锥的侧面积和全面积》教案

教学任务分析

教学目标

知识技能

会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题．

数学思考

增强了学生用数学知识解决实际问题的能力，同时还可以培养学生的空间观念．

解决问题

掌握圆锥的侧面积和全面积的计算，并可以解决一些实际问题．

情感态度

引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生空间观念，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．

重点

圆锥的侧面积和全面积的计算．

难点

明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系．

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

活动 问题情境引入课题

活动　认识圆锥及其基本概念

活动　通过动一动，探究圆锥的侧面展开图，总结出圆锥的侧面积和全面积的计算公式

活动 用所学知识解决实际问题

活动 小结，课后作业

　从实例出发提出问题，引导学生认识圆锥．

通过原有知识对圆锥进行再认识，明确圆锥的有关概念．

培养学生对数学知识的灵活应用能力．

掌握解题方法和技巧，提高熟练性和准确性．

教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图

活动

想一想，你会解决吗？

如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，15cm，底面半径5cm，要生产这种帽身个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？

（不计接缝用料和余料,π取）.

教师演示课件，提出问题，激发学生学习新知识的热情．

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学．

将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法．

活动

．认识圆锥

．圆锥的再认识

．圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系：

练习：

根据下列条件求值（其中、、分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）

() ，，则 ；

() ，，则 ；

()，，则 ．

教师结合图形，介绍圆锥的有关概念．

通过练习，使学生掌握圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系．

引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲．

活动

．动一动，通过学生自己操作和电脑演示，掌握圆锥的侧面展开图是扇形．

．引导学生推导圆锥的侧面积和全面积的计算公式．

通过学生动手操作、教师利用几何画板动态演示，让学生观察圆锥的侧面展开图是扇形，并用所学的知识推导出圆锥的侧面积和全面积的计算公式．

通过动手和观察，培养学生的空间观念．

活动

实际应用：

例　一个圆锥形零件高4cm，底面半径3cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．

例玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15cm，底面半径为5cm，生产这种帽身个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料，π取 ）．

例 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建个底面积为3m2，高为m，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡 (精确到1m2) ?

例 思考题

圆锥的底面半径为，母线长为，一只蚂蚁要从底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点，问它爬行的最短路线是多少？

例 手工制作

已知一种圆锥模型的底面半径为4cm，高线长为3cm．你能做出这个圆锥模型吗?

教师带领学生用所学的知识解决问题，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力．

教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握．

在实际生活中，展开图的知识很常用，将本课所学的知识与实际生活中的问题进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．

活动

本节课你学到了什么知识？你有什么认识？

课后作业：

教科书习题第、、题．

小结和反思，不同的学生会有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生创造在数学活动中获得活动经验的机会．

学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。

圆锥侧面积(8)

一、扇形的弧长与面积公式

1.本源公式：与

2.导出公式：（书上有的）；（书上没有的）

【点评】

1）四个量n，r，l，S的每三个之间都有关系；四个量n，r，l，S的每三个之间都有关系；四个量n，r，l，S中每一个量都可以用其余三个中的两个表示；四个量n，r，l，S中知道其中2个就可以求其余2个；

2）书上只有三个公式，在n，l，S中知道2个求第3个必须要选用三个给出的公式中的两个才能得出（这样就显得困难一些）；除这种情况，都可以通过三个给出公式中的一个得出（包括直接用公式和变形用公式）。

二、圆锥问题

1.只看圆锥的展开图

圆锥的展开图是扇形，如不看圆锥完全就是扇形的弧长和面积问题。只是在字母表示的量上发生了改变：用表示了扇形的半径，扇形的弧长就用C表示，扇形的面积用表示，如果不

管圆锥只看扇形：

（1）本源公式： ；

（2）导出公式：（书上有吗？），（书上没有）；

【点评】完全跟扇形的弧长与面积一样

2.既看展看图又看圆锥

（1）多了2个量：；

（2）在中知道2个可以求其余四个（如果只需要一个公式就可以搞定的话，就需要记住20个公式）！但上面只有最多三个：、、。还必须有：、共5个才能“综合”搞定。

（3）利用公式变为，从而有：、、、就可以综合搞定了。

【点评】在中知道2个可以求其余量：

（1）如只求一个未知量：，可以从、、、四个公式中“单独用1个”或“综合用2个“求得；

（2）如果求多个未知量：最多时、、、四个都要用上。

一、扇形的弧长与面积公式

1.本源公式：与

2.导出公式：（书上有的）；（书上没有的）

【点评】

1）四个量n，r，l，S的每三个之间都有关系；四个量n，r，l，S的每三个之间都有关系；四个量n，r，l，S中每一个量都可以用其余三个中的两个表示；四个量n，r，l，S中知道其中2个就可以求其余2个；

2）书上只有三个公式，在n，l，S中知道2个求第3个必须要选用三个给出的公式中的两个才能得出（这样就显得困难一些）；除这种情况，都可以通过三个给出公式中的一个得出（包括直接用公式和变形用公式）。

二、圆锥问题

1.只看圆锥的展开图

圆锥的展开图是扇形，如不看圆锥完全就是扇形的弧长和面积问题。只是在字母表示的量上发生了改变：用表示了扇形的半径，扇形的弧长就用C表示，扇形的面积用表示，如果不

管圆锥只看扇形：

（1）本源公式： ；

（2）导出公式：（书上有吗？），（书上没有）；

【点评】完全跟扇形的弧长与面积一样

2.既看展看图又看圆锥

（1）多了2个量：；

（2）在中知道2个可以求其余四个（如果只需要一个公式就可以搞定的话，就需要记住20个公式）！但上面只有最多三个：、、。还必须有：、共5个才能“综合”搞定。

（3）利用公式变为，从而有：、、、就可以综合搞定了。

【点评】在中知道2个可以求其余量：

（1）如只求一个未知量：，可以从、、、四个公式中“单独用1个”或“综合用2个“求得；

（2）如果求多个未知量：最多时、、、四个都要用上。

圆锥侧面积(9)

圆中的计算问题

 

【知识梳理】

（一）弧长和扇形的面积

1. 弧长的计算公式

如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长的计算公式为：

．

2. 扇形的面积公式

如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形面积为

说明：⑴对于弧长公式和扇形面积公式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握．

⑵在应用弧长公式或扇形面积公式进行计算时，要注意公式中的的意义，表示1°的圆心角的倍数，因此不带单位．

⑶扇形的另一个面积公式与三角形的面积公式有些类似．形式基本一样，可以联系起来记忆．

 

（二）圆锥的侧面积和全面积

如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．

如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．

说明：⑴研究圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长．

⑵若设圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积就是其展开图——扇形的面积，；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是．另外，知道扇形的半径和弧长，还可以求得扇形的圆心角．[来源:Z§xx§k.Com]

 

【典型例题】

例1. 如图，一块长为8的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点A按逆时针方向旋转到ADEF的位置，则顶点C从开始到结束所经过的路径长为（     ）

A. 16 ；   B. 16；   C. 8；   D. 4

分析：在旋转过程中，AC的长度保持不变，所以顶点C从开始到结束所经过的路径长是以A为圆心，AC长为半径的90°的弧长，因为AC＝8，所以，

，故选D．

 

例2. 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D互相外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四边形内的四个扇形面积之和为（     ）

A.   2；   B. ；   C.  ；   D.  

分析：根据题中的条件无法求出四个扇形的圆心角的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为360°，故选B．[来源:学科网]

 

例3. 如图，如果圆锥的底面圆的半径是8，母线长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 　　      ．

分析：由圆锥的底面圆的半径是8，可以求出底面圆的周长，也就是扇形CAB的弧长，再利用弧长公式即可求扇形的圆心角的度数．

解：∵圆锥底面圆的半径是8，

∴

∵母线长为15

∵

∴　　

∴圆心角的度数为192°．

 

例4. 如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为17cm，则贴纸部分的面积为_______．（结果保留π）

分析：扇形面积公式有两个，一是，另一个是，贴纸部分的面积实际是由两个扇形的面积相减所得．由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积： ＝187π（cm2）．

 [来源:Zxxk.Com]

例5. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为

A. R＝2r                B. R＝r  

C. R＝3r                D. R＝4r

分析：注意题中的“底面圆的半径”与“扇形的半径”是两个不同的概念．要找到圆的半径与扇形半径之间的关系，需要得到一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr＝πR

∴R＝4r  ∴答案选D

 

例6. 如图所示，半径是10cm的圆纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形（图中阴影部分），用剩下部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径．

分析：首先，根据题意画出圆锥体的示意图，从图中可知，要求圆锥的底面圆的半径需求出其所在圆的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇形的弧长，这样转化到求弧长的问题；关于圆锥的高，只要由底面半径与圆锥的母线长构造直角三角形即可．

解：如答图中的甲、乙图，∵n＝360°－120°＝240°，R＝10cm，如图（甲）所示，

    （cm）

     如图乙中连结O′P，则O′P⊥CD，设⊙O′半径为r，

∵，

∴，∴r＝（cm）

∴ O′P＝（cm）

 

例7. 已知矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC长为半径作圆弧交AD于F，交BA的延长线于E，求阴影部分面积．

分析：要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结BF，

解：连结BF

∵BC＝2，F点在以B为圆心，BC为半径的圆上

∴BF＝2

∵矩形ABCD，AB＝1，BF＝2

∴∠ABF＝60°

∴[来源:学科网]

∴

＝

答：阴影部分面积为．

 

例8. 如图已知圆锥的底面半径r＝10cm，母线长为40cm．

⑴求它的侧面展开图的圆心角和表面积；

⑵若一只甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，它所走的最短路程是多少？

       

分析：⑴把圆锥的侧面沿母线SA展开，如图

则的长为2πr＝20π，SA＝40

所以20π＝

所以n＝90°

所以圆锥的侧面展开图的圆心角是90°

S表面＝S侧＋S底＝＋π·102＝500π（cm2）

⑵由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路程是线段AB的长

在Rt△ASB中，∠ASB＝90°，SA＝40，SB＝20

所以AB＝＝20cm

答：圆锥的侧面展开图的圆心角是90°，圆锥的表面积是500π，甲虫所走的最短路程长20cm．[来源:学.科.网]

 

例9. 如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个封闭图形的面积，那么P和Q的大小关系是（     ）

A. P＝Q；             B. P＞Q；           C. P＜Q；     D. 无法确定．

分析：本题中两个封闭图形的面积不易直接求，可用代数方法来求，根据图形的对称性，另两个封闭图形的面积相等，不妨设为M，再设OA＝2r，由图形可得M＋Q＝，2M＋P＋Q＝，解得P＝Q ，故选A．

[方法探究]在一个问题不能直接解决的情况下，就要善于从另一个角度来寻找其它的途径．本题是通过设未知数，把几何问题转化为代数问题，即通过方程思想，使问题迎刃而解．

 

例10. 如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？

解析：由题意要求圆弧BF的长，只要求得圆心角∠BAF的度数即可，根据左右对称，所以将∠BAC置于一个直角三角形中来计算其度数．过点B作BE⊥地面于点E，作BG⊥AD于点G，则有GD＝BE＝2，又AD＝AC＋CD＝3.5，所以AG＝1.5，则在RtΔABG中，AB＝3，AG＝1.5，所以∠BAC＝60°，所以∠BAF＝120°．则弧BF的长＝＝2π≈6.3（米）．

 

例11. 如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型，弯道与直道相连接．已知直道BC的长为86.96米，跑道的宽为1米（＝3.14，结果精确到0.01米）

⑴求第一条跑道的弯道部分的半径；

⑵求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？

⑶若进行200米比赛，求第六道的起点F与圆心O的连线FO与OA的夹角∠FOA的度数．

解析：⑴弯道的半圆周长为＝113.04（米），由圆周长L＝2r，所以半圆弧线长，则第一道弯道部分的半径r＝＝36.00（米）

⑵第二道与第一道的直跑道长相等，第二道与第一道的弯跑道的半径之差为1米，第二道与第一道的弯跑道长的差即为两圆周长之差，

即2（r＋1）－2r＝2＝6.28（米）．

⑶从第一道200米，是以A点为始点，第六道上的运动员需要跑86.96米的直道和113.04米的弯道，即弧长为113.04米，又第六道弯道半圆的半径为41米，

由弧长与半圆、圆心角的关系得n＝，

所以∠FOA＝180°－158.05°＝21.95°．

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 一个扇形的弧长是20πcm，面积是240π，则扇形的半径是（　　）

       A. 6cm           B. 21cm         C. 24 cm        D.  cm

2. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（　　）

       A. 60°          B. 90°          C. 120°        D. 180°

3. 底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是（　　）

A. 7. 5π        B. 12π   C. 15π   D. 24π

4. 扇形的半径OA＝20cm，∠AOB＝135，用它做成一个圆锥的侧面，此圆锥底面的半径是（    ）

    A. 3.75cm     B. 7.5cm     C. 15cm    D. 30cm

5. 如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则圆中的三个扇形即（三个阴影部分）的面积之和为（　　　）

       A.     B.     C.     D.

6. 一个圆锥的底面积是25π，母线长13cm，则这个圆锥的侧面积是      ．

7. 一个圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆，则这个圆锥的全面积是________．

8. 如图所示，已知⊙内切于扇形AOB，切点为C、D、E，⊙的面积为16，∠AOB＝60°，求扇形AOB的周长和面积．

9. 如图所示是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并交外圆于A、B两点，测量结果为AB＝30cm， 求管道阴影部分的面积为多少？

圆锥侧面积9篇

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