《等差数列的前n项和》的说课稿
发布时间:2021-07-07 点击:
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《等差数列的前n项和》的说课稿13篇
《等差数列的前n项和》的说课稿13篇
《等差数列的前n项和》的说课稿(1)
高中数学片段教学教案——等差数列的前n项和
南安市诗山中学 戴安丰
一、教学内容分析
本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学(5)》(人教A版)中第二章的第三节“等差数列的前n项和”(第一课时).本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用.等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时,求数列前n项和也是数列研究的基本问题,通过对公式推导,可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法.本次片段教学我主要讲等差数列前n项和公式的推导.
二、教学目标
1.教学知识点:理解等差数列前n项和公式的推导过程;掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式;了解倒序相加法的原理;
2.能力训练要求:通过公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,渗透函数思想与方程(组)思想,培养学生观察、归纳、反思的能力;
3.德育渗透目标:通过小组讨论学习,培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质.
三、教学重点与难点
重点:探索并掌握等差数列前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题
难点:等差数列前n项和公式推导思路的获得
四、教学方法:启发引导式
五、教学过程:
(一)创设情景,唤起学生知识经验的感悟和体验
世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格,传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,第一层有1颗宝石,第二层有2颗宝石,第三层有3颗宝石…以此类推,共有100层,你知道这个图案一共花了多少宝石吗?(多媒体展示三角形图案)
教师:高斯,是德国著名的数学家,曾被誉为“数学王子”。
200多年前,高斯的算术教师提出了下面的问题:
1+2+3+…+100=?
据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯
却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050.
高斯的计算方法给了我们什么启发?
启发:(多媒体演示)如右图,在三角形图案右侧倒放一个
全等的三角形与原图互补形成平行四边形.
∵1 + 2 + 3 + …(n-1) + n
n +(n-1)+ (n-2)+ … + 2 + 1
____________________________________________________________________
(n+1) + (n+1) + (n+1) +…+(n+1) + (n+1)=n(n+1)
∴1+2+3+…+n=.
(二)引入新课
问题:在公差为d的等差数列{an}中,定义前n项和,如何求Sn?
教师:请大家参照高斯的算法,试着求Sn。
学生:∵
且
∴
即 ——————公式1
教师:在公式1中若将代入又可得出哪个表达式?
学生:
——————公式2
六、教学小结
本次教学截取的是《等差数列的前n项和》这节课内容中的公式推导片段,意在使学生通过公式的推导过程,体验从一般到特殊的方法,即通过教师的引导,让学生懂得把求等式1+2+3+……+100=?的倒序相加这一方法进行推广,进而应用到求等差数列的前n项和公式中来。
《等差数列的前n项和》的说课稿(2)
《等差数列的前n项和公式》教学设计
教材分析:
等差数列是中职教育课程改革国家规划新教材基础模块下册第六章第二节内容,是学生学习了等差数列的定义 、通项公式后,对数列知识的进一步学习。数列在生产实际中的应用范围很广,而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材,同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。
学情分析:
职高一年级学生有一定的观察分析能力和归纳推理能力,但是职高学生基础薄弱,他们对知识的理解还是处于模糊阶段,虽然对等差数列有了一定的了解。但是由于学生是第一次接触到数列的求和,缺乏相关经验,因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。
教学目标 :
1、知识目标
(1)掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法;
(2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
2、能力目标
经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3、情感目标
通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
教学重点、难点 :
1、等差数列前n项和公式是重点。
2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
设计理念 :
在教学中通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,由浅入深,层层深入,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
教学策略:
用游戏的方法调动学生的积极性
教学步骤:
问题呈现阶段
探究发现阶段
公式应用阶段
教学过程:
(一) 创设问题情境
1.故事引入:德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时,老师出了这样一道题“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢?下面给同学们一点时间来挑战高斯。
高斯的方法:
首项与末项的和:1+100=101
第2项与倒数第2项的和:2+99=101
第3项与倒数第3项的和:3+98=101
……
第50项与倒数第50项的和:50+51=101
∴前100个正整数的和为:101×50=5050
2.故事引入:泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层,奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗?图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?
:在知道了高斯算法之后,同学们很容易把本题与高斯算法联系起来,也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,将两个三角形拼成平行四边形. 让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 因此在教学中,要鼓励学生借助几何直观进行思考,揭示研究对象的性质和关系,从而渗透了数形结合的数学思想。
上述故事归结为 1.这是求等差数列1,2,3,…,100前100项和
2. 求等差数列1,2,3,…,21前21项和
(二)等差数列求和公式
一般地,称为等差数列的前n项的和,用表示,即
1、 思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢?思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示:
①
②
由①+②,得
由此得到等差数列的前n项和的公式
对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、 除此之外,等差数列还有其他方法吗?当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径。例如:
=
=
=
=
这两个公式是可以相互转化的。把代入中,就可以得到
引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系,这两个公式的共同点都有四个量,都有和n,都可以“知三求一”,不同点是第一个公式还需知道,而第二个公式是要知道d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
:让学生参与知识的形成过程,提高兴趣,体验成就感. 对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,公式的推导方法,理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系。
(三)公式运用,变式训练
等差数列的首项为,公差为d,项数为n,第n项为,前n项和为,请填下表:
:通过变式练习,可以加深学生对公式的理解和记忆,并能在应用公式时做出正确选择。
(四)例题分析
例1.已知等差数列中,=-8,a10=106,求s10
学生观察分析:知三求一,首先找出已知那三个量,求那个量,然后再判断使用哪一个求和公式,最后让学生共同计算结果。
例2.等差数列 中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注意得到的项数 必须是正整数.
:让学生观察分析,灵活应用公式,培养学生转化能力、计算能力,同时渗透方程思想。
(五)随堂练习
书10页练习6.2.3
(六)反思与评价
1.用倒序相加法推导等差数列前n项和公式
2.用推导的两个公式灵活解题。
3.特别注意Sn公式中项数n的值。
(七)课外作业
必做题:课本11页习题6.2 a组 第5、6、7题。
选做题:课本12页习题6.2 B组 第1、2题
(八):板书设计
(九)教学反思
1、针对学生实际合理地对教材进行了个性化处理,挖掘了教材中可探究的因素,促使学生探究、推导。例如:等差数列前n项和的公式一,是通过具体的例子,引到一般的情况,激励学生进行猜想,再进行论证得出;而第二个公式并不象书本上那样直接给出,而是让学生从习题中进行归纳总结得到的。这样处理教材,使学生的思维得到了很大的锻炼。
2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法,同时采用设计变式题的教学手段进行教学,通过具体问题的引入,使学生体会数学源于生活,创设情境,重在启发引导,使学生由浅到深,由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3、在教学中,鼓励学生借助几何直观进行思考,揭示研究对象的性质和关系,渗透了数形结合的数学思想。
总之,教师要树立正确的教材观,尊重教材但不惟教材,基于教材又能再生教材以促进学生主动学习和谐发展。
《等差数列的前n项和》的说课稿(3)
《等差数列前n项和》教案
(高一年级第一册·第三章第三节)
一、教材分析
● 教学内容
《等差数列前n项和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时,主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用
● 地位与作用
高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。
在推导等差数列前n项和公式的过程中,采用了:1.从特殊到一般的研究方法;2.逆序相加求和。不仅得出了等差数列前n项和公式,而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发,也是一种常用的数学思想方法。
等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础,与数学课程的其它内容(函数、三角、不等式等)有着密切的联系。
二、学情分析
● 知识基础:高一年级学生已掌握了函数,数列等有关基础知识,并且在初中已了解特殊的数列求和。
● 认知水平与能力:高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力,能在教师的引导下独立地解决问题。
● 任教班级学生特点:我所任教的班级是普通班级,学生基础知识不是很扎实,处理抽象问题的能力还有待进一步提高.
三、目标分析
1、教学目标
依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标.
● 知识与技能目标
掌握等差数列前n项和公式,能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
●过程与方法目标
经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思。
●情感、态度与价值观目标
获得发现的成就感,逐步养成科学严谨的学习态度,提高代数推理的能力。
2、教学重点、难点
根据教学内容和本校学生特点,我确定本节课的教学重点为:
● 重点
等差数列前n项和公式的推导和应用.
● 难点
等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
● 重、难点解决的方法策略
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.利用数形结合、类比归纳的思想,层层深入,通过学生自主探究,分析、整理出推导公式的不同思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点.
四、过程设计
结合教材知识内容和教学目标,本课的教学环节及时间分配如下:
五、教学过程
《等差数列的前n项和》的说课稿(4)
在数学课堂中播种“生态文明”的种子
——等差数列前n项和课堂实录
1.教学目标
[知识与技能]
1、理解等差数列的推导过程,理解“倒序相加法”的原理。
2、理解公式,能用公式解决简单的问题;通过公式运用进一步体会方程的思想;发展学生的计算能力。
[过程与方法 ]
1、启发式教学。让学生主动发现问题,得到公式推导的思路,并能自觉地得到解决办法;指导学生合情推理,加深认识,正确运用。
2、探究式学习。从高斯算法到倒序相加法,从特殊数列到一般数列求和,从公式的认识到运用,都是以学生探究为主,老师适当指导,总结。
[情感态度与价值观]
1、让学生体会到学科知识与生态文明的关系,利用数学知识可以解决实际问题。
2、让学生亲身经历数学研究的过程,体验创造的激情,享受成功的喜悦,感受数学的魅力。
3、培养学生良好的思维习惯,以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。
2.教学重点、难点
重点:探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路;掌握公式,学会用公式解决实际问题;体会等差数列的性质、公式与方程的联系。
难点:等差数列前n项和公式推导思路,公式的灵活应用。
3.课堂实录
3.1情景引入——从林场建设过程中,引出数学问题。
教师展示一张大山的照片。
图片1 图片2
教师:大家猜一猜,这张生态环境优美的图片1展示的是哪里?
学生1:不知道。
教师:我拍了一张同学们研学的图片2,对比一下,你知道这是哪里了吗?
学生1:是原山。(坐落于山东淄博博山)
教师:是的,我们7月份就是在这里研学的,我们都亲身感受了这里的自然风光。原山是国家4A级旅游景区,被称为当地的天然氧吧,它已经成了我们城市的一张靓丽名片,可是你知道它1957年的样子吗?
学生1:不知道。
教师:请看视频(视频介绍了原山从1957年成立之后,特别是1996年孙建博就任场长以来的变化:绿化面积从2%增长到94.4%,负债4000万增长到净资产10亿元,也介绍了原山工人石缝种树,百人传水等艰苦奋斗的故事),看完视频,请谈一谈你的体会。
学生2:我感觉原山现在的生态环境来之不易,是一代代原山人奋斗的结果。植树造林需要巨大的付出,尤其是在石灰石岩石上凿坑种树,难度更大,所以,我们一定要保护森林。
学生3:生态环境好了,也能给当地带来良好的经济效益,滥砍滥伐是一种短视行为。
教师:同学们讲的非常好,我们从视频中的确感受到了建设良好生态环境的重要性,习近平总书记在讲话中也强调:“生态文明建设事关中华民族永续发展和两个一百年奋斗目标的实现。保护生态环境就是保护生产力,改善生态环境就是发展生产力。”。下面请同学们思考一个问题。
问题1:从视频中我们看到了一组数字,从1996年到2018年,原山林场从从负债4000万的“要饭林场”变成了净资产10亿元企业集团,如果林场的净资产每年增长量相同,则每年的增加量是多少?(以“千万”为单位,精确到0.1)。至少到哪一年,净资产能够突破20亿元?
学生4:把1996年的资产看成等差数列数列的首项,即,那么2018年就是,每年的增长量就是公差,根据,计算得,所以每年增长5千万元。
有同学有不同意见,举手发言。
学生5:我觉得2018年应该是,因为1996年的资产看成首项,2018-1995=23,不应该是2018-1996=22.所以,,所以每年增长4千7百万元。通项公式为,令,解得,所以,即到2040年,净资产能够突破20亿元。
师:这位同学非常细心,连续的自然数计数时,应该是末项减去首项的前一项,而不是末项减首项。
设计意图:原山林场是生态文明建设的一面旗帜,是当地有名的旅游景点,而且两个月前学生集体去那里研学,亲身感受了那片青山绿水,我以学生熟悉的身边的素材作为切入点,很快把学生带入到情境中。把视频中建场之初的荒山野岭与当前的郁郁葱葱相对照,更容易激发学生对于生态文明建设重要性的认识。在学生进入这种情景后,巧妙地从情境中引出数学问题,而这个数学问题,是为了复习数列的概念以及数列的通项公式,为下一步的学习做好铺垫。无形中,德育的内容与数学学科的内容就有机融合在了一起。
3.2提出问题,推导公式——从情景中抽象出数学问题,推导出等差数列前n项和公式。
教师:植树造林是充满艰辛的,更需要越来越多人的参与,尤其在山上的石灰岩上凿坑种树。
问题2:假设在石灰岩上第一天植树1棵,第2天因有人加入,植树2棵,如果以后每天都比前一天多植树1棵,问第100天植树多少?100天共植树多少棵?
学生6:把第天植树棵树记作,则数列是首项,公差为1的等差数列,第100天植树100棵,100天共植树1+2+3+……+100棵.
教师:1+2+3+……+100称为数列的前100项和,那么如何计算1+2+3+……+100呢?
学生7:因为1+100=2+99=……,所以1+2+3+……+100=50×101=5050.
教师:200年前的数学天才高斯也是这样想的,看来同学们和数学天才的距离并不遥远啊!但是这个方法有时也会比较麻烦,比如计算3+4+……+87,因为3+87=4+86=……,共有42对,还余下一项45,所以总和为42×(3+87)+45=3825.上述过程中,计算有多少对“和”,或者找到剩余项是比较麻烦的,所以这个方法的缺点是很明显的,后来有人发现了下面的计算方法:
令
两式相加解得
这个方法的特点是把各项倒序写一遍,然后两式相加,我们把这种方法叫做“倒序相加法”,它避免了计算前后配对和剩余项的麻烦。
一般地,我们称为数列的前项和,用表示,即.
问题3:若数列是等差数列,公差为,请用“倒序相加法”计算.
学生8:
两式相加得,所以.
教师:等差数列的通项公式为,带入上式又能得到什么呢?
学生9:
教师:这两个公式都是等差数列的前项和公式,说说它们分别从哪些角度反映了等差数列的性质?
学生10:反应了的关系,反应了的关系。
教师:这两个公式中共有五个量,我们知道其中任何三个都可以求出另外两个,我们把这个关系称作“知三求二”,请同学们运用上述公式,解决下列问题。
练习1:已知等差数的前4项为:-10,-6,-2,,2,求前10项的和;前多少项的和是54?
练习2:已知数列是等差数列,求解下列问题。
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练习3:已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求其前n项和的公式.
学生板演,教师纠错。
设计意图:从情境中提炼出问题1+2+3+……+100,通过介绍高斯算法和倒序相加法,引导学生自主推导等差数列的前项和公式,通过对两个公式中的各元素的关系的分析,加强对公式的理解和记忆。设置了三组练习题,第一组让学生分析具体数列,找到首项和公差来求解,第二组是“知三求二”的解题模型,训练学生对公式的精准使用,第三组通过解方程组训练学生灵活使用公式。通过三组练习,让学生充分掌握公式并为解决情景中的应用问题做了充分的准备。
3.3公式的应用——用公式解决实际问题
教师:我们已经学习了等差数列的前项和公式,从视频中我们已经了解,原山林场场长叫孙建博,他是一名残疾人,3岁时因病致残,青年时期曾卖过酒瓶子,收过破烂,干过临时工,但他身残志坚,矢志不移,带领原山人,把荒山野岭变成了郁郁葱葱的林场,原山林场职工也过上了富裕的日子。1996年,孙建博被任命为原山林场场长,在他的带领下,原山从一个负债累累的“要饭林场”,变成了资产10亿的企业集团,成为全国国有林场的一面旗帜,他也因此荣获“全国自强模范”并当选全国人大代表。原山林场的经营是多元化的,但旅游项目收入是其收入的重要来源,原山林场想了解年游客量的变化,请同学们运用所学知识,帮助原山林场解决以下问题。
问题4:据统计,1996年,原山林场的年游客量10万人,到了2018年,年游客人数达到100万人,如果每年游客人数增加量相同,求这段时间来原山旅游的游客总人数是多少?
学生11:设1996年的年游客人数为,第n年的年游客人数为,则数列是等差数列,2018年的年游客人数为,这期间的总人数为,这段时间来原山旅游的游客总人数是1265万人。
教师:把实际问题转化成了等差数列的模型,这是数学建模能力的体现。同学们能够学以致用,非常棒!请继续思考
问题5:如果原山林场年游客量按照上述年增长量增长,问:从2018年到2028年将总共接待游客多少人?如果每位游客消费200元,问这段时间游客的消费总额是多少?
学生12:记2018年的年游客人数为,每年游客增加量为,则2028年为,这段时间共接待游客,所以这段时间共接待游客1325万人,如果每人消费200元,游客的消费总额是26.5亿。
3.4课堂小结——总结数学知识和对生态文明建设的认识
教师:用学到的知识解决实际问题,这也是我们学习的一个目的,同学今天为原山林场解决了很多问题,表现的非常好,下面请谈一谈你本节课的收获和体会。
学生13:用一句比较流行的话来说就是“绿水青山就是金山银山!”,所以,我们要保护好环境,让绿水青山常在。
学生14:孙建博的身残志坚、艰苦奋斗的故事很励志,值得我们学习。
学生15:我说一下知识上的收获,本节课我们学习了倒序相加法,等差数列的前n项和的两个公式,以及应用公式时应该如何选择。
3.5布置作业
课后练习题1,2,4
4.教后反思
数学是自然科学,也是很重要的德育学科,数学的发展过程凝聚着一代代人的智慧,也凝聚着数学家严谨求实、精益求精的精神,这些都是学生应该追求的品格。数学与现实生活也有着密切的联系,数学来源于生活又能服务于生活,所以,数学教学与立德树人是可以相互融合的。
当然数学课不能等同于德育课,学科学习目标不能丢,在引出数学问题后,就要引导学生进入数学课的学习模式,认真规范、深入思考、掌握等差数列前n项和的推导方法,记住并熟练运用公式解决问题。完成学科目标后,再次进入背景问题,通过应用所学知识,解决实际问题,在解决的过程中体会数学是有用的,在解决的结果里感受到生态文明建设的重要性。整节课体现了学科教学与德育的有机融合。
《等差数列的前n项和》的说课稿(5)
2.3.2等差数列的前项和的性质
【学习目标】
1.熟练掌握等差数列前项和公式,等差数列前项和的性质以及其与二次函数的关系;
2. 在学习等差数列前项和性质的同时感受数形结合的基本思想,会由等差数列前项和公式求其通项公式.
【自学园地】
1. 等差数列的前项和的性质:
已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.
(1)若m,n,p,q,k是正整数,且m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak.
(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为kd.
(3)仍成等差,且公差为n2d.
(4)若项数为,则
①与中项数相等,且;
②.
若项数为,则
①;
②,;
③;
④.
(5)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为=.
(6)若数列{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,则数列{pan},{an+p},
{pan+qbn}都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd1,d1,pd1+qd2.
2.为等差数列其前n项和.
3.若数列为等差数列成等差.
4.等差数列的单调性的应用:
(1)当时,有最大值,n是不等式的正整数解时取得;
(2)当时,有最大值,n是不等式的正整数解时取得.
(II)当数列中有某项值为0时,应有两解..
5.知三求二问题:等差数列数列前项和公式中各含有4个元素:与,已知其中3个量,即可求出另外1个;综合通项公式及前项和公式,已知其中3个量即可求出另外2个量.
【典例精析】
1.(1)已知等差数列,,求.
(2)等差数列前项和为30,且前项和为100,求其前项和.
(3)有一个项数为的等差数列,求它的奇数项之和与偶数项之和的比.
(4)有一个项数为的等差数列中,若所有的奇数项的和是165,所有偶数项的和是150,则项数n等于
(5)等差数列前12项之和为354,其中奇数项之和与偶数项之和的比为27:32,求公差.
(6)等差数列前项和为,,求
2.等差数列和的前项和分别为之比为,求及
3.等差数列中,为前项和, ,问此数列前多少项的和最大?
4.在等差数列中,.
(1)求公差的范围;
(2)问中哪个值最大?
5.已知数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )
6.等差数列中,,求数列的前项和为.
7.已知正项数列的前n项和为,且,求
8.已知正项数列的前n项和为,且,求
【巩固练习】
1.一个有11项的的等差数列,奇数项之和是30,则它的中间项是()
A.8B.7C.6D.5
2.设是等差数列的前n项和,若,则()
A. B. C. D.
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等( )
A.8 B.10C.12 D.14
4.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列{}是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( )
A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p4
5.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,S11=,则a12的值是( )
A.15 B.30C.31 D.64
6.在递减等差数列{an}中,若a1+a5=0,则Sn取最大值时n等于( )
A.2 B.3C.4 D.2或3
7.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为( )
A.4 B.6C.8 D.10
8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和是15,偶数项之和为30,则其公差为()
A.2B.3C.4D.5
9.已知等差数列中,,公差d>0,则使得前n项和取得最小值时的正整数
n的值是()
A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.
11.等差数列中,求数列的前n项和。
【课后作业】
1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=( )
A.-6 B.-4C.-2 D.2
2.在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11=( )
A.24 B.48C.66 D.132
3.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31 B.32
C.33 D.34
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.35
C.49 D.63
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a13=S13=13,则a1的值等于________.
6.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:是等差数列;
(2)求an的表达式.
8.等差数列中,且,求
(1);
(2)若,求
《等差数列的前n项和》的说课稿(6)
2.3.2等差数列的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和的性质
【学习目标】
1.熟练掌握等差数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式,等差数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和的性质以及其与二次函数的关系;
2. 在学习等差数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和性质的同时感受数形结合的基本思想,会由等差数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式求其通项公式.
【自学园地】
1. 等差数列的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和的性质:
已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.
(1)若m,n,p,q,k是正整数,且m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak.
(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为kd.
(3)e0c213f78af76c2b7ce80afc9640e09b.png仍成等差,且公差为n2d.
(4)若项数为21e2c0c0472b331622877accbe29b91b.png,则
①cdbdc3f88202bf598655945375247317.png与1c45b2d5de9d086f542bfabe14e10494.png中项数相等,且5f9e1398a9de9e4db8e3a762481dacea.png;
②3e589b99fcd6dbe96efd2c2e5e57ff80.png.
若项数为3be4363fb94899785bc04830ac894a67.png,则
①cdbdc3f88202bf598655945375247317.png0396bc08dfa4886fd116575406662ab8.pngdb720faa5a186530212bc5a2913fdfa4.png;
②acf21ed4d51b31521d264b47b6041b39.png,f8cd1cddc3b66f22cf95413644347156.png;
③e07725fd308a1a4a24299162099b3902.png;
④14404c430e37c5cd1e06ce779eb195b7.png.
(5)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为0d330b2b79be64b10472765009e0b909.png=9250cc9bb1b830c99e8580d9a6ed9659.png.
(6)若数列{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,则数列{pan},{an+p},
{pan+qbn}都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd1,d1,pd1+qd2.
2.02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png其前n项和acaec0ba339309beb654ed7e79fd32a1.png.
3.若数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列b78bd31da27c636662949093f138a950.png成等差.
4.等差数列的单调性的应用:
(1)当c7f6bf3ba571d11232f62b1ace306781.png时,44d853a7808a331d95220fcb38095649.png有最大值,n是不等式22c5fb32e1546d3a8559ae11c4c879a8.png的正整数解时取得;
(2)当c05a4bfd41d2990c9ec0f3638bb4057a.png时,44d853a7808a331d95220fcb38095649.png有最大值,n是不等式02f97cefb42713a7af035298c6f84a11.png的正整数解时取得.
(II)当数列中有某项值为0时,7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png应有两解.d06a05e8140226e7b9d5e8fedafb9a8d.png.
5.知三求二问题:等差数列数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式中各含有4个元素:9b3c055485b98dcd2ae510348eca1fd0.png与780c2f42ab18e0a746522d2c87f1451f.png,已知其中3个量,即可求出另外1个;综合通项公式及前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式,已知其中3个量即可求出另外2个量.
【典例精析】
1.(1)已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png,66a0b7f8e94d5f46cbc2a2defb898274.png,求fc890126b004529b3980b98f658c5612.png.
(2)等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png前6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png项和为30,且前93b47baf59ea142b485dc22577a56dac.png项和为100,求其前ac8242942174ddadc98c2d81e968d8e7.png项和.
(3)有一个项数为d2b2d9fec288403faf6e85ebf2c58972.png的等差数列,求它的奇数项之和与偶数项之和的比.
(4)有一个项数为d2b2d9fec288403faf6e85ebf2c58972.png的等差数列中,若所有的奇数项的和是165,所有偶数项的和是150,则项数n等于
(5)等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png前12项之和为354,其中奇数项之和与偶数项之和的比为27:32,求公差8277e0910d750195b448797616e091ad.png.
(6)等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png,4a7cb18ce6cba80e23161d2b13f4c298.png,求56cbcbcdac01be6d4324f119eb8cc7c9.png
2.等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png和d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和分别为94d2e21a2124fa67d2d6d7acfdaebf58.png之比为2faddaffc6053082dc1efeeccb052c08.pngeb777ec3d1747aa7f2127240e63a43b2.png,求d5b881f3fed09ebf272b6fb3454d243c.png及7baa42926d07a4486547514e84ba448b.png
3.等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中,44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和,81b453ec298541ef1ed13972a410ac09.pnge89ba7cb4996e9129993ae33331b651b.png,问此数列前多少项的和最大?
4.在等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中,16f8cfbbd46c426167093cfeed6cb3ce.png.
(1)求公差8277e0910d750195b448797616e091ad.png的范围;
(2)问ea4b9343766544f1ad5706d69881a176.png中哪个值最大?
5.已知数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )
6.等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中,3665aaa4a500df6ee9b3f3dcc0d46008.png,求数列49ccefd892a646f789f388c3dab0efe4.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.
7.已知正项数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前n项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png,且caef4f533cf197673a20d2b74dc67ece.png,求44d853a7808a331d95220fcb38095649.png
8.已知正项数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前n项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png,且55ed54a1e2a81e2ed111f696bf36a004.png,求44d853a7808a331d95220fcb38095649.png
【巩固练习】
1.一个有11项的的等差数列,奇数项之和是30,则它的中间项是()
A.8B.7C.6D.5
2.设44d853a7808a331d95220fcb38095649.png是等差数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前n项和,若36eeb8b471144e587613aaa225a7bba9.png,则c2a1b0634d5fa15460715eb88ba49194.png()
A.68bade7151c02e1faf2763fb629da842.pngB.7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngC.0f1af1f75945c10f599368811e2d8a64.pngD.c9abe9b909361ae53a62f3bd4cf65fa6.png
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等( )
A.8 B.10C.12 D.14
4.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列{c48ad9729d48dd8a32db74bf039ed94d.png}是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( )
A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p4
5.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,S11=4bf4d56d2a5f25e7d29ba4eff45a29d6.png,则a12的值是( )
A.15 B.30C.31 D.64
6.在递减等差数列{an}中,若a1+a5=0,则Sn取最大值时n等于( )
A.2 B.3C.4 D.2或3
7.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-2fdc5337bf2fa4a3c86d1f824e8ee94b.pnga8的值为( )
A.4 B.6C.8 D.10
8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和是15,偶数项之和为30,则其公差为()
A.2B.3C.4D.5
9.已知等差数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png中,329733c9bcfb9bec245c9f08b39a3b29.png,公差d>0,则使得前n项和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png取得最小值时的正整数
n的值是()
A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{be5c01978da4ad3b0451b5605ba823a6.png}的前n项和.
11.等差数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png中,e7b54a54666569ce72c1f65fb3e7bb78.png求数列191652b7f4f7a357fccf31f33890eef4.png的前n项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png。
【课后作业】
1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=( )
A.-6 B.-4C.-2 D.2
2.在等差数列{an}中,a9=2fdc5337bf2fa4a3c86d1f824e8ee94b.pnga12+6,则数列{an}的前11项和S11=( )
A.24 B.48C.66 D.132
3.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31 B.32
C.33 D.34
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.35
C.49 D.63
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a13=S13=13,则a1的值等于________.
6.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=1bd4f63d27067c888cfa880b6f9be523.png.
(1)求证:da2a81743233374c32b1ddfc5bacbe29.png是等差数列;
(2)求an的表达式.
8.等差数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png中,01769738d65f426fed5678063a6773d5.png且dd7e25448a2fa94424dd1db2fb0c569a.png,求
(1)9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png;
(2)若9b6639fc7c3580fed72e83eac94a1191.png,求72398a8e70c9782de775dd69748f4c21.png
《等差数列的前n项和》的说课稿(7)
任课老师教学案例
学科
时间
《等差数列的前项和》教案
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解等差数列前项和的定义以及等差数列前n项和公式推导的过程,并理解推导此公式的方法——倒序相加法,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想认识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列前项和的两个公式涉及五个量,已知其中三个量求另两个量;
(3)会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题.
2、过程与方法
(1)通过对历史上有名的高斯求和的介绍,引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律,然后体验从特殊到一般的研究方法。通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力.
(2)通过公式的推导过程,展现数学中的对称美。通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并运用数学知识和方法科学地解决问题.
3、情感与价值观
(1)通过对数列知识的进一步学习,不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,提高参与意识和合作精神.
(2)通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,产生热爱数学的情感,形成学数学、用数学的思维和意识,培养学好数学的信心,体验在学习中获得成功的成就感,为远大的志向而不懈奋斗.
二、重点、难点
重点:等差数列前项和公式的推导、理解及应用.
难点:等差数列前项和公式推导思路的获得.
三、教学方法
采用自主观察,合作探究的教学模式进行教学. 教学中注重引导学生观察与思考,总结与发现,培养学生发现规律的能力.
四、教学媒体
(1)常规媒体(黑板)
(2)多媒体展示
五、计划课时
2课时
第一课时
六、教学过程
分为六个阶段:①情景导入;②新知探究;③应用探究;④课堂练习、
⑤反思小结.具体过程如下:
一、
情
景
导
入
实例引入,学习数列前n项和的概念
问题1:
观看视频
泰姬陵成为世界七大奇迹之一,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(多媒体展示),奢靡之程度,可见一斑.你知道这个图案一共花了多少宝石吗?
各层的宝石数得到一个数列:1,2,3,…,100.
我们现在求的和就是这个数列前100项的和.
即1+ 2+ 3 +… + 99 + 100=?
一般地,我们称为数列的前n项和,
用表示,即.
口头解释、.
今天这节课的学习内容就是:等差数列的前n项和.
设计意图:
创设情境,激发学生学习的兴趣.
设计意图:使学生明确本课学习的内容.
二、
新
知
探
究
合
作
展
示
【合作探究】等差数列前项和公式
●2.1 高斯解决的思想方法
问题1. 如何求和
关于这个问题有个故事, 同学们知道吗?
小高斯怎么求的?
下面让我们来仔细分析一下高斯算法的思想方法.
(首尾配对相加法)
(从特殊到一般---将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题)
● 2.2 正整数数列前n项和
问题2. 求
怎么求和?请大家自主探究,也可以相互讨论.
(学生探究,交流讨论,教师巡视,收集不同解法,切换实物投影仪,展示,学生讲解,教师总结评价)
●(配对未讨论)有的同学可能直接:
(1+)+( 2+-1) +(3+-2)+……
但不知道数的个数是偶数还是奇数,不一定能恰好都配成对。
●(配对讨论)有的同学可能按照高斯的算法,并对n 进行分类讨论:
为偶数:…… 为奇数:……
● (倒序相加)最后交流出最佳方法:
(学生想不到时,借助几何图形启发)
由 1 + 2 + … + -1 +
+ -1 + … + 2 + 1
(+1) + (+1) + … +(+1) +(+1)
初步总结出推导求和的方法:倒序相加法.
2.3 等差数列前n项和
让我们再看更一般的问题!
问题3. 求等差数列前项和.
大家可以继续讨论,把讨论结果写在课堂练习本上.
(让学生分组讨论,然后多样化的成果展示,教师最后点评、总结)
共同分享探究成果(推导方法):(展示学生的推导方法)
学生1:把上式的次序反过来(倒序)
两式子相加得
=
学生2: ①
把上式的次序反过来又可
②
由①+②,得
=
由此得到等差数列的前项和的公式
(公式一)
学生3:
同学们也可以尝试把代入中,
看能得到什么:
(公式二)
公式说明:
(1) 含 、和
含 、和
(知三求一)
(2)结合梯形面积公式记忆(多媒体展示)
设计意图:
高斯算法的思想方法
设计意图:
提高学生参与意识和合作精神.
设计意图:展示探究成果,让学生体会收获的喜悦.
设计意图:借助几何图形的直观性,引导学生使用熟悉的几何方法:把“全等三角形”倒置,与原图补成平行四边形,获得算法,通过公式的推导过程,展现数学中的对称美.
设计意图:学生类比联想前面方法,水到渠成的推导出等差数列的前n项和公式,学生经历公式的推导过程,获得了发现的成就感,优化了思维品质,体会了数形结合的数学思想,体验了从特殊到一般的研究方法.
设计意图:通过公式的探索、发现,培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力.
设计意图:引导学生思考前项和能否用基本量来表示呢?这样就顺其自然的得到了另一个公式.
设计意图:数形结合思想.
三、
应
用
探
究
应用探究:等差数列前n项和公式的简单应用
例1.根据各题的条件,求相应的等差数列的前项和.
(1) (2)
解:(1)
(2)
强调:两个公式适用条件:
已知 、和 ,用公式
已知 、和 ,用公式
变式一:已知是等差数列,根据下列条件求相应的值:
(1)
(2)=2,=11,=35,求和.
解: (1)由得52=7+3×(-1)解得=16
∴=
(2)由得
解方程组, 得 或
强调:
类 型:在等差数列中,已知,,,,五个中的三个,
可以求其余两个.( 即知三求二)
方法:由通项公式和前项和公式联立方程组求解.
变式二:
在一个等差数列中,已知,求.
解:
强调:整体思想
设计意图:
训练学生运用公式的能力和计算能力.
设计意图:培养学生善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神.
设计意图:
(1)知三求二
(2)方程思想
设计意图:
整体思想
四、
课
堂
练习
课堂练习
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于 ( )
A.13 B.35 C.49 D.63
2.已知等差数列{an}中,a+a+2a3a8=9,且an
《等差数列的前n项和》的说课稿(8)
1、等差数列{an}前n项和公式: = ==。
等差数列的前n项之和公式可变形为,若令A=,B=a1-,则=An2+Bn.
在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d,,n中任意三个,可求其余两个。
2、等差数列{an}前n项和的性质
性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列,公差为n2d
性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),此时有:S偶-S奇= nd ,
性质3:(2)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项), 此时有:S奇-S偶= an ,
性质4:数列{ }为等差数列
性质5:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则
典型例题:
热点考向1:等差数列的基本量(a1,an,d,,n中任意三个,可求其余两个)
例1、在等差数列{}中,已知,求和 已知,求和
训练: 1、在等差数列中,已知.(1)求通项公式;(2)若,求.
2.在等差数列中,为数列的前项和,已知,为数列{}的前项和,求
3、已知等差数列的前n项之和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于 。
4. 已知是等差数列,且满足,则等于________。在等差数列{an}中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm=Sn,m≠n,求Sm+n.
5、 已知等差数列{an}的公差是正数,且a3·a7=-12,a4+a6=-4,求它的前20项的和S20的值.
热点考向2:求等差数列前项和最值
例2、1已知:等差数列{an}中,an=33-3n,求Sn的最大值.2、在等差数列的前项和为.(1)若,并且,求当取何值时,最大,并求出最大值;(2)若,,则该数列前多少项的和最小?
训练:1、已知: () (1) 问前多少项之和为最大?(2)前多少项之和的绝对值最小?
2.设等差数列的前项和为,已知(I)求公差的取值范围;(II)指出中哪一个最大,并说明理由。
3、 在等差数列{an}中,已知a1=25,S9=S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值.
热点考向3:求等差数列各项的绝对值之和.
例3、已知一个等差数列的通项公式an=25-5n,求数列的前n项和;
训练:1、 已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前n项和Tn.
2.已知数列的前项和,求数列{}的前项和。
热点考向4:.等差数列{an}前n项和的性质的应用
例4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )
1.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )
2.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且,则 为整数的n值有 个
训练:1、已知等差数列 an}的前10项之和为140,其中奇数项之和为125 ,则a6= 。
2. 一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差。
3、已知一个等差数列的总项数为奇数, 且奇数项之和为77,偶数项之和为66,则中间项= 总项数为 。
4.等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .
热点考向5:知识的融合与等差数列的综合应用
例4.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点列(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn都成立。求证:的最大值为。
6:练习部分
1.等差数列前n项的和为,且,,则的值是( )A.12 B.15 C.11 D.8
2、等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若= ;
3.在等差数列中,若,则=( A.45 B.75 C.180 D.320
4.在等差数列中,(1)若,则=________;(2)若,则________。
5.在等差数列中,前n项和为,若,,则=________。
6.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
7.在等差数列中,,为前n项和,且,则取得最小值时n的值为( )。
A.9 B.10 C.9或10 D.10或11
8.在等差数列中,,则等于( )A.mn B.C.0 D.
9.数列满足(), ,是 的前项和,则= .
10.等差数列的前项和为,且 =6,=4, 则公差等于( )A. B C. D
11.设是等差数列的前项和,已知,,则等于( )A. B. C. D.
12. 等差数列{}的前项和记为,若为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是 ( )
A. B. C . D.
13. 已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,其偶数项之和为30,则其公差为 ()A B C D
14.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于()(A)13 (B)26 (C)52 (D)156
15.已知数列an=,则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=( )(A)4 800 (B)4 900 (C)5 000 (D)5 100
16.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差dS6 (B)S5,。(1)求d的取值范围;(2)求使得的最小自然数的值;(3)设在集合{,,,…,}中,元素的最大值为M,试求M的取值范围。
《等差数列的前n项和》的说课稿(9)
等差数列的前项和教学设计
教学目标:1掌握等差数列的前项和公式,学会用公式解决一些实际问题
2初步了解等差数列前项和公式的推导方法:倒序相加法
3 熟记等差数列前项和公式
教学重点:等差数列前项和公式
教学难点:等差数列前项和公式推导思路的获得
教学方法:学生自学
教学方法
引入探究:
学生自学课本数学王子高斯求1+2+3+…+100方法思考以下问题
1、1、2、3…实质是一个什么样的数列?
2、为什么会想到把最后一项和第一项相加,理论根据是什么?
3、这种方法能推广到求一般等差数列的前项和公式吗?
知识形成
让学生看课本42---43例题以上(约10分钟)s
学生看课时提出以下问题
1在求等差数列前项和时用到了倒序相加,通过学习你对倒序相加了解多少?什么样的情况下可以用倒序相加法?
2等差数前项和公式有两个,你能熟记吗?(熟练掌握目前是不可能的)
3这两个公式有什么区别,他们分别从哪些角度反映了等差数列的性质?
公式和公式可以转化,前者反映了等差数列中任意的第K项与倒数第K项的和等物首项与末项的和这个内在性质,后者反映了数列的前项和与它的首项、公式之间的关系,而且是关于的“二次函数”,可以与二次函数进行比较。
4如果一个等差数列知道了公式与末项,你是否能写出其通项公式?
实际上,如果一个数列是等差数,反过来仍是等差数,公差变为
注意问题
1公式反映了等差数列中任意的第K项与倒数第K项的和等物首项与末项的和这个内在性质,这个性质是等差数列中比较重要的性质,因此教师在讲时,一定要推广到一般情况即在等差数列中,如果
则有
2倒序相加是数列中的一个重要思想,一定要在学生头脑中留有较深印象。
3避免引出公式后,不管学生对公式掌握如何,就引入前项和一些性质及大题习题,在教学中支持记住公式以便做题;反对用做题来记公式。
4等差数列前项和与二次函数的关系一定要讲清楚,以免学生混淆。
知识掌握
1 已知一个等差数列前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能三确定这个等差数列的前项和的公式吗?
分析:将已知条件代入等差数列前项和的公式后,可得到两个关于与的关系式,它们都是关于与d的二元一次方程,由此可以求得与d,从而得到所求前项的和公式.
解:由题意知
将它们代入公式
得到
解这个关于的方程组,得到
=4, d=6
所以
注意:为了避免学生记得过多,该题讲完后不要引入下面性质,可以在后继学习中引入
如果数列是等差数,那么,……仍是等差数列.
知识巩固
1根据下列各题中的条件,求相应的等差数的前项和.
2已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式.
第2题在教学中一定要细,让学生明白数列通项公式与前项和的关系.
这中间学容易忽略对=1的讨论
作业:46页A组中5,6
小结:本节着重学习了等差数列前项和公式以及等差数列前项和公式与二次函数的关系.
《等差数列的前n项和》的说课稿(10)
等差数列的前n项和教案
一、教学目标:
知识与技能目标:
掌握等差数列前n项和公式,能熟练应用等差数列前n项和公式。
过程与方法目标:
经历公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,了解倒序相加求和法的原理。
情感、态度与价值观目标:
获得发现的成就感,逐步养成科学严谨的学习态度,提高代数推理的能力。
二、教学重难点:
教学重点: 探索并掌握等差数列前n项和公式,学会运用公式。
教学难点:等差数列前n项和公式推导思路的获得。
三、教学过程:
(一)、创设情景,提出问题
印度著名景点--泰姬陵,传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗?从而提出问题怎样快速地计算1+2+3+…+100=?(学生思考),著名的数学家高斯十岁时就用简便的方法计算出1+2+3+…+100=5050 ,介绍高斯的算法。
(二)、教授新课:
数学的方法并不是单一的,还有其他的方法计算1+2+3+…+100吗?(学生思考)
①老师介绍倒序相加求和法,
记S=1+2+3+…+100
S=100+99+98+…+1
可发现上、下这两个等式对应项的和均是101,所以
2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+ … +(100+1)
2S==10100
S==5050
②如果要计算1,2,3,…,(n-1),n这n个数的和呢?(学生独立思考),老师引导,类似上面的算法,可得S=
③1,2,3,…,(n-1),n这是一个以1为公差的等差数列,它的和等于S=,对于公差为d的等差数列,它们的和也是如此吗?
首先,一般地,我们称为数列的前n 项和,用表示,即
类似地:
①
②
①+②:
∵
∴ 由此得: 公式1
由等差数列的通项公式有, 公式2
(三)、例题讲解:
(1)、利用上述公式求1+2+3+…+100=?(学生独立完成)
(2)、例:等差数列中,已知:,求前n项和及公差d.(教师引导,师生共同完成)
选用公式:根据已知条件选用适当的公式 求出
变用公式:要求公差d,需将公式2变形运用,求d
知三求二 等差数列的五个基本量知三可求另外两个
(四)、课堂小结:
1、公式的推导方法:倒序求和
2、等差数列的前n项和公式
3、公式的应用。
(五)、作业
课本45页 练习第1题
46页A组第2题
《等差数列的前n项和》的说课稿(11)
《等差数列前n项和公式》教学设计
一、 教材分析
等差数列前n项和公式是人教版高中数学必修五第二章第三节第一课时内容,是上一节等差数列的后继内容,主要包括等差数列前n项和公式的推导及应用。
(一)地位及作用
数列是高中数学重要内容,与数学教材的其它内容(函数、不等式等)有密切联系,又是今后高等数学的基础。所以在高考中占有重要地位。
数列对培养学生数学能力有很大帮助,学习数列,要有观察、分析、归纳、猜想的能力,还要综合运用前面的知识解决数列中的问题。
(二)教学目标
1.知识目标
(1)掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法;
(2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
2.能力目标
经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3.情感目标
通过公式的推导和应用,增强学生学好数学的热情和欲望,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
(三)教学重点、难点
1.等差数列前n项和公式是重点。
2.获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
二、学生情况
本届高一学生入校分数不高,学生反映慢,理解力差,对新知识的掌握更是如此。我所带班级是文科班,学生会更差些,运算能力和逻辑思维能力比较低。
三、教学方法
根据以上对教材和学生的分析,根据往常上课经验,所以本节课以基础为主,采用启发引导及多媒体辅助教学方法。
本节是第1课时,要让学生掌握等差数列求和公式并能应用,老师的解题过程清楚、板书规范。
四、学习方法
引导学生思考,让学生经历知识的形成和发展,让学生动手计算,能灵活应用公式解决问题。
五、教学过程
(一)复习回顾:
1. 等差数列的通项公式。
2. 等差数列的性质
(二)新课引入(故事引入):
介绍德国著名数学家高斯,相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题:1+2+3+…+100=?。结果高斯很快就算出了答案,你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗?
请同学起来回答,如何进行首尾配对求和:===5050.
师:非常好!这位同学和数学家高斯一样聪明!这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。
师:这里1,2,3,…,100这是一个什么数列?
生:等差数列。师:这里就是在求一个等差数列的和的问题。(三)引出课题:2.3等差数列前n项和公式。
1.数列的前n项和意义
一般地,设有数列…,我们把叫做数列的前n项和,记作.即.
2.等差数列的前n项和公式
问题:设有等差数列:公差为,如何求前项和为,
老师板书:
证明: ①
②
①+②:
∵
∴ 由此得:
由此得到等差数列的前项和的公式
(公式一)
因为,所以上面的公式又可以写成
(公式二)
区分两个公式所需条件(师生共同)
(四)例题示范:
例1:在等差数列中,根据已知量求出未知量
5
95
10
100
50
-2
14.5
3
0.7
老师板书讲解第1个,其余两个让学生上白板完成
说明:在等差数列的通项公式与前n项公式中,含有五个量,已知其中的3个量就可以求出余下的两个量。
例2:已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?
请学生思考,用哪个求和公式?
列出两个关于和d的方程,再求解。
通过此例题,让学生体会在具体的问题中如何根据已知条件选择适当的求和公式。
(五)学生练习:
课本习题:2题
(六)课堂小结:
1.等差数列前n项和公式的推导--倒序相加法;
2.等差数列前n项和公式的记忆与应用;
(公式一); (公式二)
3. 数列解题方法—方程思想
《等差数列的前n项和》的说课稿(12)
榆林市第十中学课堂六步教学模式导学提纲
年 级
高二
制作教师
韩剑飞
审核教师
刘鹏程
课 题
等差数列的前n项和公式
课 时
1
班 级
小组名称
学生姓名
三维目标
1.理解等差数列的前 n项和.
2.应用两个等差数列的前 n项和公式解决有关等差数列的问题.
3.掌握两个等差数列的前 n项和公式的推导方法.
学习重难点
重点:探索等差数列前n项和公式的推导方法,掌握前n项和公式,会用公式解决一些实际问题.体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系.
难点:等差数列前n项和公式的推导和应用公式解题时公式的选取
教师主导
提出问题
高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一.高斯十岁时数学老师出了一道题: 1+2+3+…+99+100. 老师刚写完题目高斯就把解题用的小石板交给了老师,上面只有5050一个答案.当时高斯的思路和解答方法是:
S=1+2+3+…+99+100,
把加数倒序写一遍:S=100+99+98+…+2+1.
∴2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=100×101,∴S=50×101=5050.
1.高斯的算法秒在哪里?你能从高斯求前100个正整数和的方法得到哪些启发?
2.你能从中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗?
学生探求
发现问题
1.利用“高斯的算法”求和:1+2+3+…+n.
主体互动
研究问题
2.用“倒序相加法”证明Sn=.
3.用等差数列的通项公式推导:Sn=na1+×d.
课堂整理
解决问题
等差数列前n项和公式:
课堂练习
巩固提高
1. 求前n个正奇数的和。
2. 等差数列{an}中,S10=4S5,则等于( ).
A. B.2 C. D.4
3.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为( ).
A.765 B.665 C.763 D.663
4.在等差数列中,若a4=0,a8=8,Sn为数列{an}的前n项和,则S11= .
5.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a3n,求数列{bn}的前9项和S9 .
6.已知等差数列{an}中,
(1),求n和an;
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求公差d.
反思小结
信息反馈
1. 本节课学到了什么?
2. 还有什么问题?
《等差数列的前n项和》的说课稿(13)
第六章 数列
二 等差数列
6.3等差数列的前n项和
第1课时
课题: 6.3等差数列的前n项和(1)
教学目标
1、知识点:
了解等差数列前项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,掌握等差数列前项和的公式,记忆公式的两种形式,并能运用公式解决简单的问题.;
2、能力训练目标:
(1)通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.
(2)通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
3、德育目标
通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学重点:
等差数列前项和公式的推导和应用。
教学难点:
等差数列前项和公式推导的思路。
教学用具:
实物投影仪,多媒体软件,电脑。
教学方法:(探索法)
教学过程
一、新课引入
提出问题(幻灯片1):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?
问题就是(板书)“ ”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.(幻灯片2)高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
略讲高斯的故事。
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二、讲解新课
(板书)6.3 等差数列的前项和
1、等差数列的前项和的定义:等差数列的前项和记作Sn,即
2、公式推导(板书)
问题(幻灯片3):设等差数列的首项为,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
(幻灯片4)思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个 ,似乎与的奇偶有关,这个思路似乎进行不下去了。
(幻灯片5)思路二:
上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得
,
于是有: .这就是倒序相加法.
(幻灯片6)思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了两个公式(投影片): 和 .
3、公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式. (幻灯片7)
4、公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1 求前1000个正整数的和。(幻灯片8)
分析:解题的关键将问题转化成等差数列的问题,找到首项、公差、第1000项、项数。
解:正整数从小到大排成一个等差数列,首项 1,第1000项为1000,从而前1000个正整数的和为:
S1000==500500
例2(1)已知一个等差数列的首项为–12,第30项为18,求它的前30项的和。
(2)已知一个等差数列的首项–5,公差为3,求它的前20项的和。(幻灯片9)
分析:此题是公式的一个简单应用。由学生自学完成。
例3 计算: (结果用 表示)(幻灯片10)
分析:解题的关键是将问题转化成等差数列的问题,然后运用等差数列的通项公式求出项数。
三、课堂练习:(幻灯片11)
1、求前500个正整数的和。
2、求前100个正偶数的和。
3、在等差数列中,首项为–20,公差为7,求它的前50项的和。
4、在等差数列中,首项为–36,第40项为126,求它的前40项的和。
提高练习:P287 B组5
四、小结
1、推导等差数列前 项和公式的思路;
2、公式的应用中的数学思想.
五、作业设计:
P287 A组2、4,B组1、2
选做题:P287 A组8
六、板书设计
设Sn是等差数列{An}前n项和,若S3/S6=1/3,则S6/S12=( )
A 3/10 B 1/3 C 1/8 D 1/9
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