等腰三角形

发布时间:2021-06-13 点击:

等腰三角形7篇

等腰三角形7篇

等腰三角形(1)

13.3.1 等腰三角形的性质

学习目标:1、了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质

2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题

重点:等腰三角形的概念及性质

难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用:

学习过程

一、复习引入 :1、我们已经学过的证明三角形全等的方法有哪些?

2、轴对称图形有什么性质与特点?

3、下列图形不一定是轴对称图形的是( ) A.圆 B.长方形 C.线段 D.三角形

4、怎样的三角形是轴对称图形?答:

5、有两边相等的三角形叫 ,相等的两边叫 ,另一边叫

两腰的夹角叫 ,腰和底边的夹角叫

6、如图,在△ABC中,AB=AC,标出各部分名称

二、探究新知

(一)等腰三角形的性质

1、探究:(1)取一张长方形纸片,动手裁剪出一等腰三角形,你有哪些办法?

(2)把活动中剪出的△ABC 对折,找到对称轴,折痕为AD。找出其中重合的元素填入下表:

2、归纳猜想等腰三角形的性质:

性质1 等腰三角形的两个 相等(简写成“ ”)

性质2 等腰三角形 、 、 互相重合

3、你能证明上述两个性质吗? 性质1:等腰三角形的底角相等

求证 等腰三角形的两底角相等。

已知:如图

求证:

证明:

由此,你能证明等腰三角形的性质2吗?

(二)、用符号语言表示两个性质并做分析

性质1: 在△ABC中

∵AB=AC∴ = (等边对 )

性质2:(简称: )

①在△ABC中∵AB=AC,AD是BC边上的中线,

∴∠ =∠ , ⊥ 。

②在△ABC中∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,

∴ ⊥ , = 。

③在△ABC中∵AB=AC,AD⊥BC,

∴∠ =∠ , =

归纳小结: 边:

三角形的性质 角:

三线:

三、新知应用新知(三)、等腰三角形性质的简单应用

课堂达标

1.在△ABC中,AB=AC.

若∠A=50°,则∠B=  °,∠C=   °;

若∠C =60°,则∠A =  °,∠B=  °;

若∠A =∠B,则∠A =  °,∠C=  °.

2.等腰三角形的一个角是30°,则它的底角是 .

3.等腰三角形的周长是24 cm,一边长是6 cm,则其他两边的长分别是      .

4. 如图已知△ABC中,点D、E在BC上,AB=AC,AD=AE。

请说明BD=CE的理由。

巩固提高

1、(1)等腰三角形的一个角是110°,它的另外两个角的度数是

(2)等腰三角形的一个角是80°,它的另外两个角的度数是

(3)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,则这 个等腰三角形的顶角为______

例、在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,

word/media/image7_1.png求△ABC各角的度数.

四、当堂检测:

1、(1)等腰三角形的一个角是100°,它的另外两个角的度数是

(2)等腰三角形的一个角是70°,它的另外两个角的度数是

2、(1)等腰三角形的一边长为8,另一边长为4,则它的周长是___________.

word/media/image8_1.png(2) 等腰三角形的一边长为8,另一边长为5,则它的周长是___________.

3、如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,

求∠B和∠C的度数.

小结:谈谈你的收获

课堂小测与作业1、、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ;

、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ;

、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。

2、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 。

3、等腰三角形一个角为100°,它的另外两个角为

4、等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm,则它的周长是( )

A.63cm B.51cm C.63cm和51cm D.以上都不正确

5、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,

∠B=30°求∠1和∠ADC的度数。

6、已知:如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,延长CA至 E,使AE=AD,试确定ED与BC的位置关系,并证明你的结论。

7、如图,在四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是CD的中点,且AE⊥BC,AF⊥CD。

(1)求证:AB=AD。

(2)请你探究∠EAF,∠BAE,∠DAF之间有什么数量关系?并证明你的结论。

《等腰三角形的性质》教学反思

   《等腰三角形的性质》这节课重点是让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出“等腰三角形的两底角相等”及“三线合一”的性质。设计理念是让学生通过折纸、猜想、验证等腰三角形的性质,然后运用全等三角形的知识加以论证。使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,从而实现教学目标。授课过程分为4个环节:  

   (1)感受生活中的等腰三角形。在学习等腰三角形之前,多数学生早已认识了等腰三角形,所以在上课前,我引导学生寻找“你身边的等腰三角形”。课堂上学生反应热烈,举出了很多例子。就连原来数学基础不是很好的学生,也可以举出身边的等腰三角形。学生们兴趣盎然地走进了《等腰三角形的性质》的知识世界。

   (2)形象认识等腰三角形的性质。设计“已知等腰三角形的两边长分别为5和2,求其周长”,目的是检查学生对“三角形任何两边的和大于第三边”的掌握情况及“等腰三角形有两条边相等”的理解,课堂上学生能够直接回答。由于等腰三角形的腰、底边、顶角和底角多数学生已提前掌握,因此对于本环节的学习学生感觉很轻松。课堂上学生表现出了极强的参与意识,相当一部分后进生也能够纷纷举手,并且回答的准确率极高。由于收获了成功的喜悦,同学们对于下面的等腰三角形的性质的探究跃跃欲试。  

   (3)通过折纸探究等腰三角形的性质。课堂上,当我介绍完操作规则后,学生们便迫不及待地拿出他们课前准备好的三角形纸片,仔细地翻折。可以看到同桌或前后位两个同学在小声地讨论。等腰三角形的“等边对等角”、“三线合一”的性质都是由其具有轴对称性质引出的,学生得出“等腰三角形的两底角相等”较为容易。由于担心“三线合一”的性质学生会感到困难,我特意介绍了三角形中的角平分线、高线和中线,并且为学生们设计出对应表格,让学生填出“三线合一”的性质。这样做降低了“三线合一”的性质得出的难度,学生较易理解,但是我想如果让学生自主发挥,时间虽然多浪费一些,课堂上不确定因素虽然多了一些,但是学习效果应该会好得多!  

   (4)运用“等边对等角”解决实际问题。本节课的另一个重点是学会应用“等边对等角”的性质解决实际问题。课堂上,完成了一些角度计算的填空后,侧重于让学生书写解题过程。我感觉到新课标教材中对学生解题步骤书写的规范程度要求比较放松,但是我总是认为如果让学生养成严谨的书写习惯对于培养学生思维的严谨性有很大的帮助,因此经过近一个学期的严格要求和训练,我们班虽然还有一部分学生对此感到困难,但是大多数学生都能够比较顺利地进行解题步骤的书写。

    教学实践中,提倡数学教学应更关注学生的认知特点,尽量让全体学生学有所获。本节课从总体上看,学生基本上掌握了等腰三角形的“等边对等角”及“三线合一”的性质,学会了“等边对等角”的运用,较好地完成了教学目标。但我总还是觉得,“三线合一”的性质用的不是很熟练,另外个别同学仍然忽略两种情况的存在,还需要多尝试练习。使得整体教学效果可能会更好一些。  

   

等腰三角形(2)

【知识要点】

1.等腰三角形的概念:两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

【注意】相等的两边称为腰;另一边称为底边。

2. 等腰三角形的构成条件:2倍腰长大于底边长。

【注意】由三角形两边之和大于第三边推得。做题时必须用此条件验证计算所得等腰三角形是否成立。

3. 等腰三角形的性质:等腰对等角。

【注意】即腰所对的两个角相等。

4. 等腰三角形的判定:等角对等腰。

5. 等边三角形的概念:三边都相等的三角形叫做等边三角形。

6. 等边三角形的性质:三个内角相等,且为60°.

7. 等边三角形的判定:

(1)一般三角形三边相等;

(2)一般三角形两内角等于60°;

(3)等腰三角形底边与腰相等;

(4)等腰三角形有一个内角等于60°.

【典型例题】

1.等腰三角形的性质

【例1】如图, ABC中,D、E两点分别在AC、BC上,则AB=AC,CD=DE。若 A=40 , ABD: DBC=3:4,则 BDE=( )


(A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40

【分析】两次利用等腰三角形的两腰相等和三角形的内角和为180

【解答】B。由AB=AC,得到 ABD=70 和 DEB=110 , ABD: DBC=3:4可以得到 DBE=40 ,所以 DBE=30

【点评】从已知条件中获取足够信息证明得到其他的两个内角,进而得到所求角。

【例2】如图,在△ABC中,AB=BC=12cm,∠ABC=80°,BD是∠ABC的平分线,DE∥BC.

(1)求∠EDB的度数;

(2)求DE的长.

【分析】(1)先求出其他的两个内角(2)利用等腰三角形三线合一的性质

【解答】(1)∵DE∥BC,

∴∠EDB=∠DBC=

(2)∵AB=BC, BD是∠ABC的平分线,∴D为AC的中点

   ∵DE∥BC,∴E为AB的中点,

∴DE=

【点评】利用等腰三角形三线合一的性质,是解决此类问题的典型解法,需要体会掌握。

2.等腰三角形的判定

【例1】如图,已知BD是∠ABC的角平分线,DE∥BC交AB于E,求证:△BED是等腰三角形.

【解答】∵BD是∠ABC的角平分线 ∴∠ABD=∠CBD

∵DE∥BC ∴∠CBD=∠BDE

∴∠ABD=∠BDE

∴BE=DE

∴△BED是等腰三角形

【点评】通过已知条件得到两个内角相等,从而判定等腰三角形。

3.等边三角形的性质

【例1】下列命题不正确的是( )

(A)等边三角形的角不能是钝角

(B)等边三角形不能是直角三角形

(C)若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形

(D)两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形

【分析】根据题目的说法进行举例。

【解答】(B)。(A)等边三角形的角都为60°;(B)同(A)解答;(C)等边三角形的性质之一;(D)等边三角形可以分解得到两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形。

【点评】熟悉三角形的性质是解题的关键

【例2】已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD.

【分析】要证AE=CD,需证△ABE和△CBD,利用△ABC和△BDE都是等边三角形可证

【解答】证明:∵△ABC是等边三角形,

∴AB=BC,∠ABE=60°

又∵△BDE是等边三角形,

∴BE=BD,∠DBE=60°,

∴∠ABE=∠DBE

∴在△ABE和△CBD中,

∴△ABE≌△CBD(SAS),∴AE=CD

【点评】从结果反推到已知条件即可。

4.等边三角形的判定

【例1】 如图,C为线段AB上一点,△ACD,△CBE是等边三角形,AE与CD交于点M,BD与CE交于点N,AE交BD于点O.

求证:(1)AE=BD

(2)∠AOB=120°

(3)△CMN是等边三角形

【分析】(1)根据等边三角形的性质可用SAS证明△ACE≌△DCB,则得AE=BD同时可得∠CEA=∠CBD;(2)因此可由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得∠AOB=∠AEB+∠EBO=∠AEC+∠CEB+∠EBO=∠OBC+∠CEB+∠EBO=∠BEC+∠CBE=60°+60°=120°;(3)易知∠DCE=60°,故只需证△MCE≌△NCB即可.

【解答】

【点评】利用等边三角形的性质获取等量关系。

【基础训练】

1. 如图,在等腰三角形中,,点是底边上一个动点,分别是的中点,若的最小值为2,则的周长是( )

(A) (B) (C) (D)

2. 在中,,,点为的中点,于点,则等于( )

(A) (B) (C) (D)

3. 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为( )

(A)9cm (B)12cm (C)15cm (D)12cm或15cm

4. 如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:

1 AD=BE;

2 PQ∥AE;

3 AP=BQ;

4 DE=DP;

⑤ ∠AOB=60°.

恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).

5. 已知等腰三角形的一个角为70°,则它的顶角为       度.

6. 如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上(端点A、C除外),设甲虫P到另外两边距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是( )

(A) (B)

(C) (D)无法确定

【能力提高】

1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º,腰长为4 cm,则其腰上的高为 cm.

2. 如图,以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1,再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1,……,如此作下去,若OA=OB=1,则第n个等腰直角三角形的面积Sn=________。

3. 如图,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是    .

4. 如图,AB=AC,,AB的垂直平分线交BC于点D,那么 。

5. 已知:等边△ABC中,DB是AC边上的高,E是BC延长线上一点,且DB=DE,求∠ E的度数

6. 如图,等边△ABC中,D是AB上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连结AE.求证:AE//BC.

7. 已知,如图1,是等边三角形,过AB边上的点D作DGBC,交AC于点G,在GD的廷长线上取点E,使DE=DB,连接AE、CD.

(1)求证:≌.

(2)过点E作EF//DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断是怎样的三角形,试证明你的结论.

8. 如图,P是∠AOB的角平分线上的一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,写出图中一对相等的线段(只需写出一对即可) .

9. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E、F是AD的三等分点,若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是_______ cm2.

10. 如图,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求∠AEB的大小;

《三角形》章节测试

(全卷共三个大题,满分150分,考试时间90分钟)

一、选择题(本大题共14个小题,每小题3分,共42分)

1. 在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( ).

(A)4cm (B)5cm (C)9cm (D)13cm

2. 在下图中,正确画出AC边上高的是( ).

(A) (B) (C) (D)

3. 如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,且PD=PE,则△APD与△APE全等的理由是( ).

(A)SAS (B)AAS

(C)SSS (D)HL

4. 如果在△ABC中,∠A=70°-∠B,则∠C等于( ).

(A)35° (B)70° (C)110° (D)140°

5. 下列说法错误的是( ).

(A)三角形三条中线交于一点 (B)三角形三条角平分线交于一点

(C)三角形三条高交于一点 (D)三角形中线、角平分线、高都是线段

6. 在下列条件中,不能说明△ABC≌△A’B’C的是( ).

(A)∠A=∠A’,∠C=∠C’,AC=A’C’

(B)∠A=∠A’,AB=A’B’,BC=B’C’

(C)∠B=∠B’,∠C=∠C’,AB=A’B’

(D)AB=A’B’, BC=B’C,AC=A’C’

7. 在下列说法中,正确的有( ).

①三角对应相等的两个三角形全等

②三边对应相等的两个三角形全等

③两角、一边对应相等的两个三角形全等

④两边、一角对应相等的两个三角形全等

(A)1条      (B)2条     (C)3条    (D)4条

8. 下列说法正确的是( )

(A)两个周长相等的长方形全等 (B)两个周长相等的三角形全等

(C)两个面积相等的长方形全等 (D)两个周长相等的圆全等

9. 判定两个三角形全等,给出如下四组条件:

①两边和一角对应相等;②两角和一边对应相等;

③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等;④三个角对应相等;

其中能判定这两个三角形全等的条件是( )

(A)①和② (B)①和④ (C)②和③ (D)③和④

10. 三角形的三个内角中,锐角的个数不少于( )

(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3个 (D)不确定

11. 适合条件∠A =∠B =∠C的三角形一定是( )

(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形(D)任意三角形

12. 有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形( )

(A)必定全等(B)必定不全等(C)不一定全等(D)以上都不对

13. 面积相等的两个三角形( )

(A)必定全等(B)必定不全等(C)不一定全等(D)以上都不对

14. 如图,AB∥CD,AD∥BC,AC与BD相交于点O,则图中全等的三角形有( ).

(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对

二、填空题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)

15. 已知一个三角形的三条边长为2、7、x,则x 的取值范围是 。

16. 等腰三角形一边的长是4,另一边的长是8,则它的周长是 。

17. 已知三角形的两边长分别是2cm和5cm,第三边长是奇数,则第三边的长是 。

18. 如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,与∠A相等的角是 ,理由是 。

19. 如图,AD是△ABC的中线,△ABC的面积为100cm2 ,则△ABD的面积是 cm2 。

20. 如图,在△ABC中,CE,BF是两条高,若∠A=70°,∠BCE=30°,则∠EBF的度数是 ,∠FBC的度数是 。

21. 如图,在△ABC中,两条角平分线BD和CE相交于点O,若∠BOC=116°,那么∠A的度数是 。

22. 为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是 。 .

23. 直角三角形中,两锐角之比为1:2,则两锐角的度数分别为 。

24. 完成下面的推理:如图,

(1)在△ABC与△A’B’C’中,

∴△ABC≌△A’B’C’(SAS).

(2)在△ABC与△A’B’C’中,

∴△ABC≌△A’B’C’(AAS).

三、解答题(本大题共6个小题,共78分)

25. 如图,∠BAD=∠CAE,AB=AD,AC=AE,则△ABC≌△ADE,请说明理由。

26. 如图,AB=CD,AD=CB;试证明AD∥BC。

27. 如图,E是AB上一点。若AC=AD,BC=BD,则CE=DE吗?请说明理由。

28. 如图,△ABD≌△ABC,∠C=100°,∠CBD=30°,求∠DAB的度数.

29. 如图,已知A、B、C、D在同一直线上,AC= BD,DE∥AF,且DE = AF,求证:⊿AFC≌⊿DEB

30. 已知:如图,AC,BD互相平分于点O,求证:△AOB≌△COD

等腰三角形(3)

《等腰三角形》说课稿

北川羌族自治县桂溪初中 邓刚

大家好!今天我说课的题目是《等腰三角形》,下面我将从教材分析、教学目标分析、学情分析和重难点的确定、教法与学法分析、教学过程设计 五个方面加以说明。

一、 教材分析

1、本节课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十三章第三节第1课时,主要的内容是学习等腰三角形的两条性质:“等边对等角”和“三线合一”。

之前,已经学习了全等三角形、轴对称。这节课的内容既是前面所学知识的延续和提升,又是下节学习等腰三角形的判定、等边三角形 的预备知识,同时也是几何证明中证明角相等、线段相等 以及 两条直线互相垂直 的常用依据。因此,本节内容在教材中所处地位非常重要,起着承前启后的作用。

二、教学目标分析:

新课标指出,不仅要让学生学会知识与技能,同时要让学生学会学习,形成正确价值观。这告诉我们,在教学中应该以知识与技能为主线,渗透情感态度价值观,并把知识与技能的获取,充分体现在过程与方法中。鉴于此,我将三维目标进行整合,确定本节课的教学目标为:

1、知识与技能

了解等腰三角形的相关概念,理解掌握等腰三角形的性质;运用等腰三角形的性质进行证明和计算。

2、过程与方法

①经历画图、测量等活动,进一步认识等腰三角形的性质,发展形象思维。

②通过对等腰三角形性质的证明、运用,发展学生逻辑推理能力,提高学生运用知识和技能解决问题的能力,培养学生的应用意识。

3、情感、态度与价值观

引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解决问题的活动中 获取成功的体验,建立学习的自信心;在探讨过程中培养学生的合作精神。

三、学情分析和重难点的确定

我所教的班是一个试点班,学生基础较好,思维较灵活 反应快。并且在此之前刚刚学习了全等三角形、轴对称,应该对知识的理解和接受都比较快,这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。但对于两个定理的运用,可能会产生一定的困难,因为本节课两个定理能直接解决的问题,往往也能迂回地用 全等三角形 的知识来解决,所以学生在运用这两个定理时很可能思维总定势在全等三角形中。因此教学中,要引导和鼓励学生多角度思考问题,把学生的思维从经验型逐步引向探索型,培养学生的观察能力和思考能力。同时,也能加深理解知识之间的内在联系。

根据以上对教材的地位和作用、以及学情分析,结合新课标对本节课的要求,我将本节课的重点确定为:等腰三角形 性质的探索和应用。

难点确定为:等腰三角形 性质的综全应用。

四、教法与学法分析

新课标理念是,不仅要让学生学会知识,更重要的是学会学习,知识的 获取过程 尤为重要。在教学中不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。基于本节内容特点,课堂教学我采用“画图发现——探究证明——应用提高”的流程,使学生体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳和应用的过程。

初二学生的观察能力、逻辑思维逐步增强,他们能够把握观察的方向,具备了一定的逻辑推理能力和思维表达能力。根据学生这一年龄特征和这节课的内容特点,我采用直观教学法,探究、发现法,引导和鼓励学生主动参与,积极动手、动脑,生动活泼地获取知识、掌握规律。

学法上,学习数学不应当只是单调刻板的 简单模仿 和 操练。为提升学生的学习兴趣,要强调探究学习、发现学习、合作学习。本节课我将鼓励学生合作、共同探讨,师生互动,学生互动,让学生学会主动探究—主动总结—主动提高,使学生在自主探索和 合作交流中,理解和掌握本节课的内容。

五、 教学过程设计

我设计了以下六个环节

(一)创设情境、导入新课

投影出生活中等腰三角形的实例,说明等腰三角形在生活中应用广泛,为了我们更好地运用等腰三角形,本节课我们将探索等腰三角形的相关性质。揭示课题

(二)发现问题,探求新知

1、学生尺规作图,图一个等腰三角形(学生方法可能不一样,引导各小组成员讨论、交流画法,抽一学生板演)

2、指出所画等腰三角形中 总相等的两个角,说出这两个角与你所画的 相等两条边在位置上的关系。教师板书“等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)”。并结合所画图形用几何语言写出:

“在△ABC中,若有AB=AC,则有∠B=∠C”

3、学生完成证明(有全等三角形作基础,学生很快会想到添加辅助线证明两个角所在三角形全等,但添加辅助线的方法有所不同,其证明过程也有所区别。因此在巡视后后,选择三种 不同添加辅助线方法 的证明 进行展示、点评。把刚才的结论形成定理)

4、让学生在刚刚画好的等腰三角形上,继续画出底边上的中线、底边上的高线和顶角平分线。(学生一画,很自然地就会迫切地议论起来……)教师趁机引导,统一认识。板书结论“等腰三角形的底边上的中线、底边上的高线和顶角平分线互相重合(三线合一)”。

5、引导理解三层意思(结合图形用几何语言板书)

(1)△ABC中,AB=AC,若有BD=CD,

则有AD⊥BC,∠BAD=∠CAD

(2)△ABC中,AB=AC,若有AD⊥BC,

则有AD=BC,∠BAD=∠CAD

(3)△ABC中,AB=AC,若有∠BAD=∠CAD

则有AD=BC,AD⊥BC,

说明:是已知“一线”,可知也是另两线。

6、学生口术证明,形成定理。

再次强调:运用中,需要哪“一线”,和们就得“哪线”,不必每次把所得的“两线”都写出来。

(三)初步应用、加深理解

1、已知如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若AB=AD,那么BD是∠ABC的平分线吗?为什么?

2、△ABC中,AB=AD=DC, ∠BAD=26°,∠则B= ,∠C= 。

3、在中,AB=AC, ∠BAC=50°,BC=10。

(1)若AD⊥BC,则BD= , ∠CAD= ;

(2)若AD平分∠BAC,则CD= , ∠BDA= ;

(3)若BD=CD,则∠BAD= , ∠CDA= 。

4、在△ABC中,AB=BC,那么在这个三角形中,三线合一的线段是

A. ∠BAC的平分线,AC边上的中线,AC边上的高;

B. ∠ABC的平分线,BC边上的中线,BC边上的高;

C. ∠ACB的平分线,AB边上的中线,AB边上的高;

D. ∠ABC的平分线,AC边上的中线,AC边上的高。

5、已知:在△ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,

且DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。

求证:DE=DF

6、已知:点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE。

求证:BD=CE

第1、2、3用以加深对定理的理解;第2题还为下面的例题做准备;第4题主要是强调“三线(是哪三线)”;第5、6题,鼓励学生多角度思考(能用全等解决、最好用“三线合一”解决)。六个题评价处理视课堂而定。

word/media/image9_1.png(四)拓展运用,提高升华

1、教学例1、如右图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数。

提问:图中共有几个等腰三角形?分别写出相等的角。

组内交流探讨,寻求解决办法,学生口述。

板书解题过程。

2、变式运用:在△ABC中,AB=AC,D、E、F分别在AC、AB上,且有CB=BD=DE=EF=FA。求∠A的度数。

对于此题,不作过多的引导,学生讨论后,提示 采用播放课件的方式。

3、处理教材习题13.3第9题,让学生体会“数学来源于生活,又运用于生活”。

(五)归纳小结,知识梳理

1、学生谈收获

2、强调知识点

(六)布置作业,

1、教科书习题13.3第1、4、7题。(对应习题)

2、思考:运用这节课所学知识证明:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是等腰三角形。

如图,△ABC中,CD是AB边上的中线,如果有CD 580bf469c091261a12559db4091e00aa.pngAB, △ABC是直角三角形吗,说明理由.

以上几个环节环环相扣,层层深入,教学中,要充分体现教师与学生的交流互动,注意调控节奏,让学生通过动脑思考、层层递进,对知识的理解逐步深入,力争使课堂效益达到最佳状态。

我的说课完毕,谢谢大家!

等腰三角形(4)

北师大版数学八年级下册第一章第1节

《等腰三角形》第一课时 教学设计

【课程标准对本节内容的要求与活动建议】

探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。

【内容与学情分析】

在八年级上册第七章《平行线的证明》,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,习得了一些基本的证明方法和基本规范,积累了一定的证明经验;在七年级下,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。

本节将进一步利用全等三角形的有关定理、公理证明等腰三角形性质的有关定理,由于具备了上面所说的活动经验和认知基础,本节可以让学生自主地寻求命题的证明。

【教学目标】

1.知识目标:

理解作为证明基础的8条公理的内容,应用这些公理证明等腰三角形的性质定理;

在证明过程中,进一步感受证明过程,掌握推理证明的基本要求,明确条件和结论,能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理;

熟悉证明的基本步骤和书写格式。

2.能力目标:

经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;

鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性,提高逻辑思维水平;

3.情感与价值目标

启发引导学生体会探索结论和证明结论,及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系;

培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好学习习惯。

引导学生对图形进行观察,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,建立学习的信心。

【教学重点、难点】

重点:探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法。

难点:明确推理证明的基本要求如明确条件和结论,能否用数学语言正确表达等。

【学习目标】

1、能证明等腰三角形的性质定理。

2、会应用等腰三角形的2个性质,解决简单的问题。

3、掌握证明的基本步骤和书写格式。

4、能有条理地用严谨的几何语言表达。

【评价活动方案】

1.第四环节:活动1,证明猜想1以及活动2,口述证明猜想2的探究过程中,关注学生能否用多种方法证明,以及严谨书写证明过程,完成猜想1的证明。能否用有条理的几何语言叙述猜想2的证明,以评价目标1。

2.第五、六、八环节:关注学生应用等腰三角形性质解决问题的完成情况、熟练度、对题率等以评价目标2。

3.第四环节的活动1,第六环节的活动2,以及第八环节,关注学生书写证明过程的格式、步骤、规范性、严谨性、正确性,以评价目标3。

4.关注第四环节:活动2,口述证明猜想2,以及提问 “三线合一”符号语言与文字语言的转化,和第五环节,“小先生”口述解题过程,以及环节六,各个练习题的口述表达情况,以评价目标4。

【教学活动设计】

第一环节:创设情境

欣赏美丽的建筑,感受等腰三角形在现实生活中的应用,和它的轴对称美。

问题1: 美丽的建筑物中,有你熟悉的几何图形吗?

答:等腰三角形。

问题2: 为什么建筑物中通常设计有等腰三角形?

答:因为等腰三角形具有三角形的稳定性,使建筑物坚固。具有轴对称性,有对称美,使建筑物更美观。

活动目的:数学来源于生活,通过欣赏美丽的建筑,引导学生从生活出发,体会数学与生活的联系,体会等腰三角形的重要性和在生活中的广泛应用,为引入新课做好准备。感受到等腰三角形是轴对称图形,欣赏它的对称美,为以下各个环节,亲自动手做一个等腰三角形、探究等腰三角形的性质,做好理论铺垫。通过亲身经历提炼有关数学信息的过程,可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。充分利用现代化教学手段加强直观教学,引起学生学习的兴趣:通过师生互动,生生互动,增加学生之间的凝聚力,激发学生学习积极性,提高学课堂效率。

活动注意事项:欣赏美丽的建筑,抽象出熟悉的几何图形------等腰三角形。感受等腰三角形的轴对称性,特别重要。等腰三角形的轴对称性是本节课各个环节,亲自动手做一个等腰三角形、探究等腰三角形的性质的理论基础。在这一环节中,应让学生充分感受等腰三角形的轴对称美,教师充分强调它的轴对称性。

第二环节:动手做一做,剪出一个等腰三角形

请同学们根据等腰三角形是一个轴对称图形,动手做一做,剪出一个等腰三角形。

活动目的:通过学生自己动手剪出一个等腰三角形,加深对等腰三角形轴对称性的体会。并且体会到等腰三角形沿对称轴对折后,两侧能够完全重合。为探究等腰三角形的2条性质,做好感知铺垫。并且通过两侧完全重合,启发学生从全等的角度,去探究证明接下来要学习的性质。

活动注意事项:注意提示学生,动手剪出等腰三角形的依据:等腰三角形是轴对称图形。留心观察每位同学的操作,给予必要提示。通过剪一剪的活动,使获取成功的体验,建立学习的信心,给予充分表扬鼓励。

第三环节:观察实验

请将自己手中的等腰三角形沿折痕对折

1、观察你制作的等腰三角形,具有什么特征?你能得到那些相等的量?

2、小组成员间交流自己的发现,并总结概括出等腰三角形的特征。

答: AB=AC ∠B=∠C BD=CD ∠1=∠2 ∠ADB=∠ADC=90°

活动目的:启发学生小组交流讨论,观察沿折痕对折时,重合的量,

从而发现,五组等量关系。这五组重合而得的等量的前两组AB=AC ∠B=∠C为猜想、证明等腰三角形性质1(等边对等角)提供感知与证明依据。这五组重合而得的等量的后三组BD=CD ∠1=∠2 ∠ADB=∠ADC=90°为猜想、证明等腰三角形性质2(等三线合一)提供感知与证明依据。

活动注意事项:采用小组讨论的形式,让学生的思想充分交流,认知更加完整。必需提供给学生,上讲台展示自己组发现的等量关系的机会,并且让学生充分展示他们是如何通过折纸操作,得到5组等量的。在他们的演示与语言叙述中,更加深了他们对轴对称,以及所得5组等量的理解。给学生提供充分展示自己思维的机会。

第四环节:观察、发现、提出猜想,并证明猜想的正确性,得到等腰三角形性质。

活动1:观察、提出 猜想1 等腰三角形的两个底角相等。并小组讨论交流证明该命题的正确性,得到等腰三角形性质1。

问:看5组等量,第1组等量反应等腰三角形什么特性?

答:两腰相等。

问:第2组量反应等腰三角形什么特性?

答:两底角相等。

问:因此,我们可以得到怎样一个猜想?

答:猜想1 等腰三角形的两个底角相等。

问:我们猜想得到一个命题,下一步该做什么?

答:证明命题是否正确。

问:谁能说一下,证明一个命题的步骤是什么?

答:第一步,找出命题的题设和结论。第二步,把题设写成已知,把结论写成求证。第三步是严谨的证明

问:这个命题的题设是什么?

答:等腰三角形

问:结论是什么?

答:两个底角相等

问:请你说出已知和求证。

答:已知:AB=AC

求证:∠B=∠C

问:在完成第三步---严谨证明之前。首先,回顾一下证明2个角相等的方法有哪些?

答:通常有三种方法:方法一,利用同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等,证明。方法二,找出或构造平行线,利用两直线平行同位角相等或内错角相等,证明。方法三,找出或构造全等三角形,利用全等三角形的对应角相等,证明。

接下来,每个小组根据回顾的的证明2个角相等的方法,交流讨论猜想1的证明。尽可能找出更多的证明方法。特别,给大家提示,必要时,添加辅助线!添加辅助线时,要考虑等腰三角形的轴对称性、考虑到对称轴!

我们来交流。展示一下各小组证明方法:(小组代表,板书证明过程)

(法一)

(法二)

(法三)

我们得到,等腰三角形性质定理1

性质定理1 等腰三角形的两个底角相等。

(简称“等边对等角”)

问:谁能用符号语言描述定理1?

答:符号语言:∵AB=AC (已知)

∴ ∠B=∠C (等边对等角)

活动目的:通过观察活动,以及小组讨论交流,获得有关等腰三角形性质命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸和发展,熟悉证明的基本步骤和书写格式。

活动注意事项:由于有了教师引导下学生的活动,以及具体的折纸观察操作,学生一般都能猜想到有关等腰三角形的性质命题,证明得到的命题是否正确,这一环节,有些同学可能没有思路、方法。在学生小组的交流中,通过同伴的互相提示、补充,一般都可以完成证明。当然,在教学过程中,教师应注意小组的巡视,提醒学生思考多种证明思路,思考不同的辅助线之间的关系,探究多种证明方法,通过严谨的证明,认识等腰三角形性质定理1。

活动2:观察、提出 猜想2等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。并口述证明该命题的正确性,得到等腰三角形性质2。

问:大家看5组等量,第3组等量反应AD是什么特殊线段?

答:等腰三角形底边中线。

问:第4组等量反应AD是什么特殊线段?

答:等腰三角形顶角平分线。

问:第5组等量反应AD是什么特殊线段?

答:等腰三角形底边上的高。

问:因此,我们可以得到怎样一个猜想?

猜想2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

问:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合?

(教师点拨)答:可以如此理解:1.已知一条线段是等腰三角形底边上的中线,可得它也是底边上的高,顶角的平分线。2.已知一条线段是等腰三角形底边上的高,可得它也是底边上的中线,顶角的平分线。3.已知一条线段是等腰三角形顶角的平分线,可得它也是底边上的中线,底边上的高。

问:下面,对比猜想1的3种证明方法,那位同学能口述一下猜想2的证明?

请一位同学到讲台口述证明过程。

通过证明,我们得到

等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合。(简称“三线合一”)

符号语言填空:

问:把第(1)条转换成文字语言是:

答:已知AD是等腰三角形底边上的高,则它也是底边上的中线,顶角的平分线。

问:把第(2)条转换成文字语言是:

答:已知AD是等腰三角形底边上的中线,则它也是底边上的高,顶角的平分线。

问:把第(3)条转换成文字语言是:

答:已知AD是是等腰三角形顶角的平分线,则它也是底边上的中线,底边上的高。

问:不错,大家已经理解了“三线合一”。下面我口述一个命题,大家判断正确吗?

等腰三角形的高、中线、角平分线,三线合一。

问:不对!谁能举个反例?

答:等腰三角形ABC中,底角∠B的角平分线BD,腰AC上的中线BE, 腰AC上的高BF,这三条线段:BD、BE、BF,就不重合。

问:因此,你想提醒大家什么?

答:“三线合一”应该是等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边上的高互相重合。

活动目的:通过观察五组等量的后三条等量关系,得出“三线合一”的猜想。仿照猜想1的多种证明方法,启发学生口述猜想2的证明方法,以发展学生有条理地用严谨的几何语言表达的能力。以填空题的形式完成等腰三角形性质定理2的符号表达,使同学们更加乐于思考。对于探究性质定理2的三种符号表达的同时,提问相应的三种文字语言表达,有效锻炼了符号语言与文字语言的转化。

活动注意事项:口述猜想2的证明对学生而言,是一项巨大的挑战。学生的几何语言表达能力还在发展完善的过程中,有时候表达的不够严谨、不够完善,都是在情理当中,教师应予以足够的耐心指导,给予充分的鼓励。

第五环节:学以致用

等腰三角形的性质,大家学习得非常棒!下面看看大家会用性质解决问题吗?

如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,

立柱AD⊥BC.已知∠B=30°, BC=6m,

那么:∠BAC= ,BD= .

请小组讨论交流,解决问题。

问:哪位同学当小先生,讲台上讲解解决问题的步骤?

答:∵ AB=AC, AD⊥BC.

∴在RT△ADB中,∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°

∵AB=AC, AD⊥BC.

∴∠BAC=2∠BAD=2(是底边上的高,也是顶角平分线)

∵AB=AC, AD⊥BC.

∴BD=BC==3(米) (是底边上的高,也是底边上的中线)

活动目的:以小组讨论交流的形式,完成“学以致用”,以便于刚学会的性质在应用时,少数同学能力不足,可以在小组交流的同时,得到启发和帮助,得以学会知识的运用。另外,请一位同学当小老师,讲解解题过程。既锻炼了该学生的几何语言表达能力,又引起其他听众的兴趣。

活动注意事项:“小老师”在讲解时,未必每人都能听懂。教师此时可以以提问“小老师”两个问题的形式,把重点的性质用在一问一答中加以强调指明。

第六环节:以“比一比”的形式,完成随堂练习,巩固新知

活动1:比速度,看谁抢答,又对又快!

1、 等腰△ABC的两条边长分别为3和4,则△ABC的周长= .

2、等腰△ABC的两条边长分别为3和7,则△ABC的周长= .

问:你能说说以上两个题区别吗?

答:已知两条边长度,求等腰三角形周长,第一步分两种情况讨论,第二步判断两种情况是否都满足三角形三边关系定理,如果都满足,则有2个答案;如果只有一种满足,则1个答案。

3.一个等腰三角形的顶角为100°,底角度数为 .

4.一个等腰三角形的一个角为40°, 则顶角度数为 .

问:你能说说以上两个题区别吗?

答:钝角只能作等腰三角形的顶角,锐角既可以作等腰三角形的顶角,也可以作等腰三角形的底角。

5.在△ABC中,若AB=AC,∠B=∠A,则∠C= .

问:你能说说解决这个题的关键是什么?

答:由等边AB=AC,得等角∠B=∠C.注意等边对等角这个定理使用时的对应关系。

活动目的:以比速度,抢答方式,完成比较简单的一组练习。消除了同学们的疲劳,引起积极的学习兴趣。在相应的对比练习之后设问,使学生清晰对比出一类问题的处理方法,以及区别之处,达到方法总结的目的。

活动注意事项:在相应的每道抢答题后面,应该留出一定的思考时间。或上课之前,布置成预习作业,课堂提问检查完成。

活动2:比一比,看谁本领大

大家的速度快的惊人,接下来比比谁的本领大吧!

如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,DE、DF

分别垂直AB、AC于点E和F.

求证:DE=DF.

(请大家独立思考完成。)

请两位同学板书不同的证明方法,发展学生的发散思维。

(法一)

(法二)

活动目的:设计该练习题,保证了学生有梯度的练习。为满足学生学习的不同需求,在都能获得必要发展的前提下,真正做到“不同的人在数学上得到不同的发展”,增强学生应用知识的能力。两位同学板书不同的解决问题的方法,在给其他同学提示的同时,发展了学生的发散思维。

活动注意事项:要求该练习题必须以学生独立思考为前提,之后,比本领,自主到讲台讲解,并板书。注意学生严谨的几何语言的表达,以及规范的证明书写。

第七环节:学有所思

首先,请每个小组交流讨论总结一下这堂课,谈谈你的收获,从知识收获与方法收获两方面畅所欲言。

接着,请几个组代表发言,谈谈自己组的收获。

以小组发言的形式,向大家展示:

知识收获:

方法收获:

之后,教师总结本节课知识图,与探究学习数学的方法过程图。

课堂小结的最后,教师再次强调作为证明基础的8个基本事实,希望大家要牢记!

1.两点确定一条直线;

2.两点之间线段最短;

3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

5.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

6.两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);

7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);

8.三边对应相等的两个三角形全等(SSS);

活动目的:以小组交流讨论的形式总结一下这堂课,从知识收获与方法收获两方面畅所欲言,谈收获。使学生在知识内容与探究学习数学知识的方法过程2个层面,都有所体会、心得。培养学生总结归纳的习惯,提高学生自主建构知识网络,分析、解决问题的能力,达到触类旁通。最后,教师再次强调牢记作为证明基础的8个基本事实,为证明,掌握好强有力的依据。

活动注意事项:教师注意在知识内容与探究学习数学知识的方法、过程,2个方面的点拨。为巩固证明基础的8个基本事实,可以布置记忆作业,希望更进一步熟记。

第八环节:当堂检测

《1.1等腰三角形(1)》当堂评测练习

一、选择题:(在每个小题所列的四个选项中,只有一项是最符合题意的,请将所选选项前面的字母标号填在题后的括号内)

1.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC的大小为(  )

A.40° B.30° C.70° D.50°

2.已知等腰三角形的一个角为72°,则其顶角为(  )

A.36° B.45° C.60° D.72°或36°

3.等腰三角形的一边为3,另一边为8,则这个三角形的周长为(  )

A.14 B.19 C.11 D.14或19

二、 填空题:

4.如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为  .

三、证明题:

5. 已知:AB=AC,BD=DE.

求证:DE∥AC.

活动目的:检测学生知识技能的掌握情况,学习目标的完成情况。

活动注意事项:小组成员互相批改、纠错订正。小组长统计完成情况、评价组员。教师评价小组。实现评价方式多样化 。

第九环节:布置作业

1、基础巩固:课本第4页 习题1.1

2、提高能力:用三种方法证明等腰三角形的性质“三线合一”。

3、熟背作为证明基础的8个基本事实。

4、(选作)动手做一做:墙上钉了一根木条,小明想检验这根木条是否水平.他拿来一个如图所示的测平仪,在这个测平仪中,AB=AC,BC 边的中点D 处挂了一个重锤.小明将BC 边与木条重合,观察此时重锤是否通过A点.如果重锤过A点,那么这根木条就是水平的.你能说明其中的道理吗?

活动目的:尊重学生个体存在差异的客观事实,让不同的学生获得不同的发展。所以作业的设计分层要求。有助于培养学生的数学应用意识,让学生感悟数学来源于生活应用于生活,激发学生学习的热情。

第十环节:教师寄语

在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么。

——毕达哥拉斯

活动目的:把毕达哥拉斯的名言送给学生作为指路明灯,希望大家在注重知识学习的同时,更要注重获取知识的方法学习,以及过程体会。

【教学反思】

与学生探究学习完《等腰三角形(1)》这节课,我的最大体会是教学活动必须要给学生提供探索交流、操作、思考的空间和时间,教会学生如何探究获取知识的方法、途径和过程体验,远比学习知识本身更重要。

一、结合实际生活教学,激发学生的学习兴趣

数学源于生活,生活中到处蕴含着数学问题。 “开门见山,直入课题”,我首先让学生欣赏美丽的建筑,在生活实际中找出等腰三角形,同学们一下子进入学习的状态,在这种轻松愉快的气氛中开始了一堂课的探究。与之相呼应的是,在课的最后,留给学生的思考作业:关于“三线合一”在生活实际中的应用原理,更是让学生有一种意犹未尽的感觉。

二、组织实践操作活动,激励学生的探索精神

本节课以“等腰三角形”为主线索,用“动手”贯穿整堂课。首先,就让学生动手剪出一个等腰三角形。接着,请学生做观察实验,在学生动手折纸、动眼观察、动脑思考等一系列实践活动中,学生就会发现:哦,原来等腰三角形是一个轴对称图形,对称轴就AD所在的直线,而后就能很顺利地探索出五组等量关系,猜想出“等边对等角”、“三线合一”这两个命题了。这样的实践活动,确实进一步增强了学生对数学知识的体验和感知,有效地激励了学生的探索精神。

三、创造情感体验的机会,激活学生的思维空间

数学教学中,我们不应只考虑学生应该学习什么,而应更多考虑,学生需要什么样的数学,需要怎样的数学活动方式。惟有如此,学生在数学学习中才会产生积极的数学学习情感体验,才能激活学生的思维空间,产生强大的后续学习的动力。在本节课堂上,我注意给学生创造情感体验的机会:在数学实验中,体验到了学习数学的乐趣;在独立思考中,体验了到数学科学的奥妙;在合作交流中,体验到了同学之间的友谊;在尝试完成例题中,体验到了成功的喜悦;在巩固练习中,体验到了数学的价值;在课堂小结中,体验到了学习数学无止境……

四、创设感悟情境,拓展感悟空间,提高学生触及数学本质的能力

教的真谛在于“导”,学的成功在于“悟”。不通过感悟的数学知识对学生来讲是没有意义的,只有将数学知识内化成为学生自己的认知结构,并使其有所体悟,这样的数学知识对学生来讲才是有实在意义的,所以感悟在数学学习中具有核心地位。而感悟来源于对问题的深入思考,因此,在课堂上,我不是一味的追求“热闹”,而是非常强调学生的独立思考,给学生创设一个良好的感悟情境,不管是在导入新课,还是在探索新知,或是在例题解析,我都尽量将学生带入问题情境中,并提供足够的时间让学生充分地、独立地深入思考,感悟数学本质。

五、在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么。

把毕达哥拉斯的上述名言,送给学生作指路明灯。再次告诉学生,学习数学知识很重要,但比学习知识更加重要的是学会探究、发现、猜想、证明、应用知识的方法、途径和过程体验。

总之,本节课围绕着“等腰三角形”这条主线,让学生通过动手操作、动眼观察、动口表述、动脑思考来参与学习过程,这既重视了知识的形成过程,又重视了学生思维的发展过程;既重视了能力培养,又重视了学生情感的产生和保持。当然,每一节数学课结束之后,总是思绪万千,本节课也是的,总觉得有些问题值得探讨,主要有以下几个:

怎样才能够充分的利用有效的活动,帮助学生学会并掌握新知识?怎样才能让学生在一般与特殊的对比中运用发现法?由观察比较到验证归纳,再到推理论证;由个别形象到一般抽象;由感性认识上升到理性认识,使学生的思维由形象直观过度到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,进一步体会等腰三角形所具有的特征。揭开对“三线合一”正确理解的疑难。同时,在实施合作式学习时,教师要对“收”“放”“度”有充分的把握,否则时间分配不合理,造成拖堂。 所以这些方面还值得我进一步去反思、去探究。

此外,这节课存在着不足之处,需要我在今后的教学中,注意改进:

1、课堂练习的5道抢答题,应该预留出一段时间供学生思考,使思维不够敏捷的同学也有较长时间思考,避免思维敏捷的同学说出答案后,前者只能听从他人答案、顺从他人的思路进行被动学习。显然,预留时间不够充分,今后一定注意从设计环节上加以完善。

2、本班学生的数学语言、几何语言、表达能力均需要着重培养,有意识地加强锻炼,使他们的表达更严谨、逻辑性更强,这是今后我需要下功夫的地方。

这节课结束了,但摆在我面前的道路实在是任重而道远。就让我和学生们一起成长,一起体会他们的主动与积极给我带来的震撼,一起来感悟我们在探究学习中,对学生自主性培养所遵循的几条原则:给学生一个空间,让他们自己去探索;给学生一个时间,让他们自己去安排;给学生一个权力,让他们自己去选择、去创造。

等腰三角形(5)

1.概念及分类

有两边相等的三角形叫等腰三角形;有三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形;等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形.

2.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形两腰相等;等腰三角形的两个底角相等;

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合,简称“三线合一”;

(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形,它有一条对称轴.

3.等腰三角形的判定

(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形;

(2)有两角相等的三角形是等腰三角形.

1.性质:①等边三角形的内角都相等,且等于60°;②等边三角形是轴对称图形,等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”,它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.

2.判定:三个角相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

1.概念:垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线.

2.性质:线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等.

3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上,线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.

(1)已知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则第三条边的长是(  )

A.8    B.7    C.4    D.3

(2)已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为(  )

A.40°      B.100°

C.40°或100°     D.70°或50°

(3)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连结BE,则∠CBE等于(  )

A.80°        B.70° C.60°        D.50°

例1(3)题  例1(4)题

   

(4)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有(  )

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

作业:

1.等腰△ABC的两边长分别为2和5,则第三边的长为5.

2.某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm,则它的周长为( C )

A.9 cm       B.12 cm

C.15 cm       D.12 cm或15 cm

3.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为( C )

A.20°  B.120°  C.20°或120°  D.36°

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为( D )

A.60°  B.120°  C.60°或150°  D.60°或120°

5.下面给出的几种三角形:(1)有两个角为60°的三角形;(2)三个外角都相等的三角形;(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形;(4)有一个角为60°的等腰三角形.其中一定是等边三角形的有( B )

A.4个   B.3个   C.2个   D.1个

6.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是( A )

A.100°      B.80°

C.70°     D.50°

7.如图,在边长为4的正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE.

(1)求△ABC的面积S;

(2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明.

答案:(1)S=4 (2)AC⊥DE

一、选择题

1.等腰三角形的一条边长等于6,另一条边长等于3,则此等腰三角形的周长是(  )

A.9    B.12    C.15    D.12或15

2题

2.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于(  )

A.30°   B.40°

C.45°   D.36°

3.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为(  )

A.75°或15°    B.36°或60°

C.75°    D.30°

4.在等腰△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为(  )

A.7 B.11 C.7或11 D.7或10

5.等腰△ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为(  )

A.13   B.14

C.15   D.16

5题
6题

6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB的垂直平分线交AB于点D、交BC于点E,AE平分∠BAC,那么下列关系式中不成立的是(  )

A.∠B=∠CAE   B.∠DEA=∠CEA

C.∠B=∠BAE   D.AC=2EC

7.等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根,则这个三角形的周长为(  )

A.8    B.10 C.8或10   D.不能确定

9.已知等边△ABC的边长为a,则它的面积是(  )

A.a2 B.a2 C.a2 D.a2

10.如图,△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,连结BD,则BD的长为(  )

A. B.2 C.3 D.4

11.如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,在下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN中,正确的个数是(  )

13题

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

二、填空题

12.若等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数为________.

13.如图所示,BD是△ABC的角平分线,∠ABD=36°,∠C=72°,则图中的等腰三角形有________个.

14.如图,在△ABC中,AB=AC=8,AD是底边上的高,E为AC的中点,则DE=________.

、、

14题 15题

15.如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则的值为________.

三、解答题

16.在△ABC中,∠A=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点D,求∠DBC的度数.

17.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于D,则BD=DC,请说明理由.

18.一次数学课上,王老师在黑板上画出下图,并写下了四个等式:①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.

要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可)

已知:

求证:△AED是等腰三角形.

等腰三角形答案

例题答案【解答】(1)根据“三角形任意两边之和大于第三边”知腰应为7,该三角形三边为7、7、3.故选B.

(2)当40°为底角时,顶角为100°;40°也可以为顶角.故选C.

(3)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,∴∠EBD=∠A=20°.∵∠A=20°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=80°,∴∠CBE=80°-20°=60°,故选C.

(4)等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选A.

练习题答案

1、C2、D3、A4、C

5、A【解析】由等腰△ABC的周长为21,底边BC=5,可求出AB=AC=8.∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=5+8=13.

6、D【解析】由DE垂直平分AB得EA=EB,∴∠B=∠BAE,又∵AE平分∠BAC,∴AE平分∠BAC,∴∠EAB=∠CAE,∴∠B=∠BAE=∠CAE,因此A、C都成立.∵AE平分∠BAC,∴∠EAB=∠CAE,又ED⊥AB,EC⊥AC,∴∠DEA=∠CEA(等角的余角相等),B成立.

7、B9、D10、【解析】∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形,∴∠ACB=∠DCE=∠E=60°,∴∠ACD=60°,在△BCD中,BC=DC=4,∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°,∴∠DBC=30°,∴∠BDE=90°,在Rt△BDE中,BE=2BC=8,DE=4,由勾股定理得,BD=4,故选D.

11、B

12、【答案】50°或80°

13、3

14、【解析】∵AB=AC,AD⊥BC,∴D为BC的中点.又∵E为AC的中点,∴DE为△ABC中位线,∴DE=AB==×8=4.

15、【解析】∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ACE=∠CBD=60°.∵AD=BE,∴BD=CE.∴△BDC≌△CEA(SAS).∴∠BCD=∠CAE.∵∠ACF+∠BCD=60°,∴∠ACF+∠CAE=60°.而∠AFG=∠ACF+∠CAE,∴∠AFG=60°.∵AG⊥CD,∴在Rt△AGF中,sin∠AFG=,即sin60°==.

16、解:∵∠A=50°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=65°.

∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=50°.

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.

17、

解:理由:如图,连结AD,

∵ED是AB的垂直平分线,

∴BD=AD.∴∠B=∠1.

∵AB=AC,∠BAC=120°.

∴∠B=∠C=30°,∴∠1=30°.∴∠DAC=90°.

∴AD=DC(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半).

∴BD=DC(等量代换).

18、、证明:

解:答案不唯一.如:已知:①AB=DC,②∠B=∠C.

证明:在△ABE和△DCE中,

∴△ABE≌△DCE(AAS),∴AE=DE,即△AED是等腰三角形.

等腰三角形(6)

等腰三角形补充练习

一.选择题(共3小题)

1.在△ABC中,∠B=30°,点D在BC边上,点E在AC边上,AD=BD,DE=CE,若△ADE为等腰三角形,则∠C的度数为(  )

A.20° B.20°或30° C.30°或40° D.20°或40°

2.如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A、B是格点,以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为(  )

A.7个 B.8个 C.9个 D.10个

3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=α,且AE=AD,则∠EDC=(  )

A.α B.α C.α D.α

 

2.填空题(共14小题)

5.在同一平面内,已知点P在等边△ABC外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,则∠APC的度数为   .

6.等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则这个三角形的底角为   .

7.有两个等腰三角形甲和乙,甲的底角等于乙的顶角,甲的底长等于乙的腰长,甲的腰长等于乙的底长,则甲的底角是   度.

8.如图,∠BAC=θ(0°<θ<90°),现只用4根等长的小棒将∠BAC固定,从点A1开始依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1,则角θ的取值范围是   .

9.如图,在△ABC中,AC=BC>AB,点P为△ABC所在平面内一点,且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB,△PBC,△PAC均是等腰三角形,则满足上述条件的所有点P的个数为   个.

10.如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则四个结论正确的

是   .

①P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.

11.如图,在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,∠An的度数为   .

12.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则腰长为   ,底边长为   .

13.如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则=   .

14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P在△ABC内,∠PBC=10°,∠PCB=30°,则∠PAB=   .

15.线段AB和直线l在同一平面上.则下列判断可能成立的有   个

直线l上恰好只有个1点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个2点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个3点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个4点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个5点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个6点P,使△ABP为等腰三角形.

16.如图,△ABC为正三角形,面积为S.D1,E1,F1分别是△ABC三边上的点,且AD1=BE1=CF1=AB,可得△D1E1F1,则△D1E1F1的面积S1=   ;如,D2,E2,F2分别是△ABC三边上的点,且AD2=BE2=CF2=AB,则△D2E2F2的面积S2=   ;按照这样的思路探索下去,Dn,En,Fn分别是△ABC三边上的点,且

ADn=BEn=CFn=AB,则Sn=   .

17.已知等腰△ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是   .

18.如图,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=   度.

 


2017年08月23日139****2832的初中数学组卷

参考答案与试题解析

 

一.选择题(共4小题)

1.(2016秋•资中县期末)在△ABC中,∠B=30°,点D在BC边上,点E在AC边上,AD=BD,DE=CE,若△ADE为等腰三角形,则∠C的度数为(  )

A.20° B.20°或30° C.30°或40° D.20°或40°

【解答】解:如图所示,∵AD=BD,∠B=30°,

∴∠ADC=60°,

∵DE=CE,

∴可设∠C=∠EDC=α,则∠ADE=60°﹣α,∠AED=2α,

根据三角形内角和定理可得,∠DAE=120°﹣α,

分三种情况:

①当AE=AD时,有60°﹣α=2α,

解得α=20°;

②当DA=DE时,有120°﹣α=2α,

解得α=40°;

③当EA=ED时,有120°﹣α=60°﹣α,方程无解,

综上所述,∠C的度数为20°或40°,

故选:D.

 

2.(2016春•乳山市期中)如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A、B是格点,以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为(  )

A.7个 B.8个 C.9个 D.10个

【解答】解:如图所示,以A为圆心,AB长为半径画弧,则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置;

以B为圆心,AB长为半径画弧,则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置;

作线段AB的垂直平分线,垂直平分线没有经过格点.

故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个.

故选(B)

 

3.(2015•天心区校级自主招生)如图,已知等边△ABC外有一点P,P落在∠BAC内,设P到BC、CA、AB的距离分别为h1,h2,h3,满足h2+h3﹣h1=6,那么等边△ABC的面积为(  )

A.4 B.8 C.9 D.12

【解答】解:设等边三角形ABC的边长为a,连接PA、PB、PC,则

S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB,

即ah1+ah2﹣ah3=,

∴a(h2+h3﹣h1)=,

∵h2+h3﹣h1=6,

∴a=4,

∴S△CAB==12,

故选(D).

 

4.(1998•杭州)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=α,且AE=AD,则∠EDC=(  )

A.α B.α C.α D.α

【解答】解:根据题意:在△ABC中,AB=AC

∴∠B=∠C

∵AE=AD

∴∠ADE=∠AED,即∠B+∠α﹣∠EDC=∠C+∠EDC

化简可得:∠α=2∠EDC

∴∠EDC=α.

故选A.

 

二.填空题(共14小题)

5.(2016•江西模拟)在同一平面内,已知点P在等边△ABC外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,则∠APC的度数为 15°或30°或60°或75°或150° .

【解答】解:根据点P在等边△ABC外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,

作出如下图形:

由图可得:∠AP1C=15°,∠AP2C=30°,∠AP3C=60°,∠AP4C=75°,∠AP5C=150°.

故答案为:15°或30°或60°或75°或150°

 

6.(2016秋•东阿县期中)等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则这个三角形的底角为 67.5°或22.5° .

【解答】解:有两种情况;

(1)如图,当△ABC是锐角三角形时,BD⊥AC于D,

则∠ADB=90°,

已知∠ABD=45°,

∴∠A=90°﹣45°=45°,

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠C=×(180°﹣45°)=67.5°;

(2)如图,当△EFG是钝角三角形时,FH⊥EG于H,

则∠FHE=90°,

已知∠HFE=45°,

∴∠HEF=90°﹣45°=45°,

∴∠FEG=180°﹣45°=135°,

∵EF=EG,

∴∠EFG=∠G=×(180°﹣135°)=22.5°,

故答案为:67.5°或22.5°.

 

7.(2013•香坊区三模)有两个等腰三角形甲和乙,甲的底角等于乙的顶角,甲的底长等于乙的腰长,甲的腰长等于乙的底长,则甲的底角是 36°或60° 度.

【解答】解:假设等腰三角形甲为ABC,等腰三角形乙为DEF(如图所示).

①顶角为D根据题中的条件,甲的底长等于乙的腰长,甲的底角等于乙的顶角,

我们可以将D挪到B点,使BC与DE重合,DF与AB重合,

如果A为锐角,则F点在AB边上,由于CF=AC,由图知是不可能的.

如果A为钝角,则F点在AB延长线上,由于CF=AC,得知乙的底角=2倍的顶角=2倍甲的底角,

故可以解得甲的底角是36度;

②当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时,∠1=∠2=∠3=60°,

即甲的底角是60°.

故答案是:36°或60°.

 

8.(2013•泰州一模)如图,∠BAC=θ(0°<θ<90°),现只用4根等长的小棒将∠BAC固定,从点A1开始依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1,则角θ的取值范围是 18≤θ<22.5 .

【解答】解:∵A1A2=AA1

∴θ1=∠A2A1A3=2θ,

∴θ2=∠A2A4A3=θ+2θ=3θ,

∴θ3=∠A2A4A3+θ=4θ,

由题意得:,

∴18°≤θ<22.5°.

 

9.(2013•宜兴市一模)如图,在△ABC中,AC=BC>AB,点P为△ABC所在平面内一点,且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB,△PBC,△PAC均是等腰三角形,则满足上述条件的所有点P的个数为 6 个.

【解答】解:如图所示,作AB的垂直平分线,①△ABC的外心P1为满足条件的一个点,

②以点C为圆心,以AC长为半径画圆,P2、P3为满足条件的点,

③分别以点A、B为圆心,以AC长为半径画圆,P4为满足条件的点,

④分别以点A、B为圆心,以AB长为半径画圆,P5、P6为满足条件的点,

综上所述,满足条件的所有点P的个数为6.

故答案为:6.

 

10.(2013•安徽模拟)如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则四个结论正确的

是 ①②③④ .

①P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.

【解答】解:∵PR=PS,PR⊥AB,PS⊥AC,

∴P在∠A的平分线上,

在Rt△ARP和Rt△ASP中,

∵,

∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL),

∴AS=AR,∠QAP=∠PAR,

∵AQ=PQ,

∴∠PAR=∠QPA,

∴∠QPA=∠QAR

∴QP∥AR,

∵△ABC为等边三角形,

∴∠B=∠C=∠BAC=60°,

∴∠PAR=∠QPA=30°,

∴∠PQS=60°,

在△BRP和△QSP中,

∵,

∴△BRP≌△QSP(AAS),

∴①②③④项四个结论都正确,

故答案为①②③④.

 

11.(2012•贵阳)如图,在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,∠An的度数为  .

【解答】解:∵在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,

∴∠BA1A===80°,

∵A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角,

∴∠CA2A1===40°;

同理可得,

∠DA3A2=20°,∠EA4A3=10°,

∴∠An=.

故答案为:.

 

12.(2012•枣阳市校级模拟)已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则腰长为 8或6 ,底边长为 5或9 .

【解答】解:根据题意画出图形,如图所示,

设等腰三角形的腰长AB=AC=2x,BC=y,

∵BD是腰上的中线,

∴AD=DC=x,

①若AB+AD的长为12,则2x+x=12,

解得x=4,

则x+y=9,即4+y=9,

解得y=5;

②若AB+AD的长为9,则2x+x=9,

解得x=3,

则x+y=12,即3+y=12,

解得y=9;

所以等腰三角形的底边为5时,腰长为8;

等腰三角形的底边为9时,腰长为6;

故答案为:8或6;5或9

 

13.(2011•济宁)如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则=  .

【解答】解:∵AD=BE,

∴CE=BD,

∵等边三角形ABC,

∴△CAE≌△DCB,

∴∠DCB=∠CAE,

∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°,

∵AG⊥CD,

∴∠FAG=30°,

∴FG:AF=.

故答案为:.

 

14.(2011•鄂州校级模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P在△ABC内,∠PBC=10°,∠PCB=30°,则∠PAB= 70° .

【解答】解:在BC下方取一点D,使得三角形ABD为等边三角形,连接DP、DC

∴AD=AB=AC,

∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=20°,

∴∠ACD=∠ADC=80°,

∵AB=AC,∠BAC=80°,

∴∠ABC=∠ACB=50°,

∴∠CDB=140°=∠BPC,

又∠DCB=30°=∠PCB,BC=CB,

∴△BDC≌△BPC,

∴PC=DC,

又∠PCD=60°,

∴△DPC是等边三角形,

∴△APD≌△APC,

∴∠DAP=∠CAP=∠DAC=20=10°,

∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°.

或由△BDC≌△BPC,

∴BP=BD=BA

∴∠BAP=∠BPA

又∵∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=40°

∴∠BAP=(180﹣40)/2=70°

故答案为:70°.

 

15.(2011•海曙区模拟)线段AB和直线l在同一平面上.则下列判断可能成立的有 5 个

直线l上恰好只有个1点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个2点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个3点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个4点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个5点P,使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个6点P,使△ABP为等腰三角形.

【解答】解:要使△APB是等腰三角形,分为三种情况:①AP=BP(即作AB的垂直平分线于直线的交点,即有一个点)∴直线l上恰好只有个1点P,使△ABP为等腰三角形正确;

②AB=AP(以A为圆心,以AB为半径画弧,交直线于两点),

即直线l上恰好只有个2点P,使△ABP为等腰三角形正确;

直线l上恰好只有个3点P,使△ABP为等腰三角形正确;

③AB=BP(以B为圆心,以AB为半径画弧,交直线于两点)

即直线l上恰好只有个4点P,使△ABP为等腰三角形正确;

直线l上恰好只有个5点P,使△ABP为等腰三角形正确;

∵1+2+2=5,

∴直线l上恰好只有个6点P,使△ABP为等腰三角形错误;

故答案为:5.

 

16.(2011•拱墅区校级模拟)如图,△ABC为正三角形,面积为S.D1,E1,F1分别是△ABC三边上的点,且AD1=BE1=CF1=AB,可得△D1E1F1,则△D1E1F1的面积S1= S ;如,D2,E2,F2分别是△ABC三边上的点,且AD2=BE2=CF2=AB,则△D2E2F2的面积S2= S ;按照这样的思路探索下去,Dn,En,Fn分别是△ABC三边上的点,且

ADn=BEn=CFn=AB,则Sn= S .

【解答】解:∵△ABC为正三角形,

∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°,

∵AD1=BE1=CF1=AB,

∴BD1=CE1=AF1=AB,

∴△AD1F1≌△BD1E1≌△CE1F1,

设等边△ABC的边长为a,

则S=a2sin60°,

△AD1F1的面积=×a•a•sin60°=S,

∴△D1E1F1的面积S1=S﹣3×S=S;

同理,AD2=BE2=CF2=AB时,

BD2=CE2=AF2=AB,

△AD2F2的面积S2=×a•a•sin60°=S,

△D2E2F2的面积S2=S﹣3×S=S;

ADn=BEn=CFn=AB时,

BDn=CEn=AFn=AB,

△ADnFn的面积=×a•a•sin60°=S,

△DnEnFn的面积Sn=S﹣3×S=S.

故答案为:S,S,S.

 

17.(2009•滨州)已知等腰△ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是 <x<5 .

【解答】解:依题意得:10﹣2x﹣x<x<10﹣2x+x,

解得<x<5.

故填<x<5.

 

18.(2005•江西)如图,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2= 220 度.

【解答】解:如图,

△ABC中,∠A+∠B=180°﹣∠C=180°﹣40°=140°;

四边形中,∠1+∠2=360°﹣(∠A+∠B)=360°﹣140°=220°.

故填220.

 

等腰三角形(7)

等腰三角形

考点一、等腰三角形的特征和识别

⑴等腰三角形的两个_____________相等(简写成“________________”)

⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合(简称为“________________”)

特别的:(1)等腰三角形是___________图形.

(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.

⑶如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的________也相等(简称为“____________________”)

特别的:

(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.

(2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.

(3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.

(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.

典例1、如图,△ABC中,AB=AC=8,D在BC上,过D作DE ∥AB交AC于E,DF∥AC

交AB于F,则四边形AFDE的周长为______ 。

2、 如图,△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB,EF过D
且EF∥BC,若AB = 7,BC = 8,AC = 6,则△AEF周长为( )

A. 15 B . 14 C. 13 D. 18

3、 如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上,且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEB=____度.

4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则它的一个底角的度数是_____________

5、△ABC中, DF是AB的垂直平分线,交BC于D,EG是AC的垂直平分线,交BC于E,若∠DAE=20°,则∠BAC等于 °

6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于

7、已知,在△ABC中,∠ACB=90°,点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,则∠DCE = 度.

8、如图:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F。试说明DE=DF。

9、如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.

10、已知:如图,△ABC中,∠ACB的平分线交AB于E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.

11、如图,△ABC中,AB∥DC,AD=DC=CB,AD、BC的延长线相交于G,CE⊥AG于E,CF⊥AB于F.

(1)请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外);

(2)选择(1)中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由.

考点二、等边三角形的特征和识别

⑴等边三角形的各____相等,各____相等并且每一个角都等于________

⑵三个角相等的三角形是__________三角形

⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形

特别的:等边三角形的中线、高线、角平分线_________________________________________

典例1、下列推理中,错误的是 (  )

A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形

B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形

C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形

D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形

2、如图,等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。

求证:M是BE的中点。

3、已知△ABC是等边三角形,分别在AC、BC上取点E、F,且AE=CF,BE、AF交于点D,则∠BDF= _________度

4、如图,点P是等边△ABC内一点,点P到三边的距离分别为PE、PF、PG,等边△ABC的高为AD,

求证:PE+PF+PG=AD

如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是( )

A.等边三角形 B.腰和底边不相等的等腰三角形

C.直角三角形 D.不等边三角形

变式题:如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,FE⊥BC,DF⊥AC,

ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证:△DEF为等边三角形。

如图,B、C、D在一直线上,ΔABC、ΔADE是等边三角形,若CE=15cm,CD=6cm,

则AC=_____,∠ECD=_____.

5、如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下六个结论: AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP; ⑤∠AOB=60°;⑥CO平分∠AOE.其中不正确的有( )个

A.0 B.1 C.2 D.3

考点三、30°所对的直角边是斜边的一半

典例

1、如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直

于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于( )

A.1m B.2m C.3m D.4m

2、如图:△ADC中,∠A = 15°,∠D=90°,B在AC的垂直平分线上,AB =34,则CD = ( )

A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对

3、一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙,已知AO=BO=40cm,C0=D0=30 cm,现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°,求桌面到地面的距离是多少?

4、如图,AB=AC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∠BAC=120o,BC=6,则DE+DF=

5、在中,,的垂直平分线交于点,交于点.如果,求的长

如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于E,

交BC于F. 求证:CF=2BF.

已知:如图,△ACD是等边三角形,AE⊥CD于E,AB⊥AC,AC=AB,AE、BD相交于O.

求证:BC=2OD.

等腰三角形7篇

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